Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
u \times v=0 se, e somente se, u e v são L.D.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para u,v\in\mathbb{R}^3,
u\times v = 0
se, e somente se, u e v são linearmente dependentes (L.D.).
Conteúdo principal: definição de produto vetorial, dependência linear em \mathbb{R}^3 e propriedade geométrica \|u\times v\| = \|u\|\;\|v\|\sin\theta.

Passo 2

Mostramos primeiro que se u e v são L.D., então u\times v=0.
Se u e v são L.D., existe escalar \lambda tal que
u = \lambda\,v.
Então
u\times v = (\lambda\,v)\times v = \lambda\,(v\times v).
Mas v\times v é sempre o vetor nulo, pois cada componente \bigl(v_i v_j - v_j v_i\bigr) é zero. Logo
u\times v = \lambda\,0 = 0.

Passo 3

Agora mostramos que se u\times v=0, então u e v são L.D.
Caso 1: u=0 ou v=0. Nesse caso qualquer vetor é L.D. com o vetor nulo, e estamos feitos.
Caso 2: u\neq0 e v\neq0. Seja \theta o ângulo entre eles. Da propriedade geométrica do produto vetorial, temos
\|u\times v\| = \|u\|\;\|v\|\sin\theta.
Se u\times v=0, então \|u\times v\|=0. Como \|u\|\neq0 e \|v\|\neq0, segue \sin\theta=0, isto é, \theta=0 ou \theta=\pi. Logo u e v são colineares, isto é, existem \lambda e \mu não simultaneamente nulos tais que
\lambda\,u + \mu\,v = 0,
o que significa exatamente que u e v são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto provamos as duas implicações e concluímos que
u\times v = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad u\text{ e }v\text{ são linearmente dependentes.}ã

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