Sejam
e
vetores em
.
produto vetorial de
por
é definido como o vetor
Prove que valem as seguintes propriedades:
se, e somente se, u e
são L.D.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
,
se, e somente se,
e
são linearmente dependentes (L.D.).
Conteúdo principal: definição de produto vetorial, dependência linear em e propriedade geométrica
.
Conteúdo principal: definição de produto vetorial, dependência linear em
Passo 2
Mostramos primeiro que se
e
são L.D., então
.
Se e
são L.D., existe escalar
tal que
Se
Então
Mas
é sempre o vetor nulo, pois cada componente
é zero. Logo
Passo 3
Agora mostramos que se
, então
e
são L.D.
Caso 1: ou
. Nesse caso qualquer vetor é L.D. com o vetor nulo, e estamos feitos.
Caso 2: e
. Seja
o ângulo entre eles. Da propriedade geométrica do produto vetorial, temos
Caso 1:
Caso 2:
Se
, então
. Como
e
, segue
, isto é,
ou
. Logo
e
são colineares, isto é, existem
e
não simultaneamente nulos tais que
o que significa exatamente que
e
são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto provamos as duas implicações e concluímos que