Sejam
e
vetores em
.
produto vetorial de
por
é definido como o vetor
Prove que valem as seguintes propriedades:
é ortogonal a u e a
Passo 1
O enunciado define em
o produto vetorial
e pede para mostrar que
é ortogonal a
e a
. Para isso vamos usar a definição de produto escalar em
:
Passo 2
Vamos calcular o produto escalar
. Substituindo as componentes de
e de
obtemos
Passo 3
Agora distribuímos cada termo e agrupamos:
Observe que todos os termos se cancelam em pares:
Logo
o que prova que
é ortogonal a
.
Passo 4
De modo análogo, calculamos
. Usando as mesmas componentes:
Passo 5
Distribuindo e agrupando:
Novamente cada termo se anula com seu oposto, resultando
Isso mostra que
é também ortogonal a
.
Resposta
Ficou provado que
ou seja,
é ortogonal a
e a
.