Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
u \times v é ortogonal a u e a v

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^3 o produto vetorial
u \times v = \bigl(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},\;x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},\;x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\bigr)
e pede para mostrar que u\times v é ortogonal a u e a v. Para isso vamos usar a definição de produto escalar em \mathbb{R}^3:
(a_{1},a_{2},a_{3})\cdot(b_{1},b_{2},b_{3}) = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar (u\times v)\cdot u. Substituindo as componentes de u\times v e de u obtemos
(u\times v)\cdot u = (x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,x_{1} + (x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\,x_{2} + (x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,x_{3}.

Passo 3

Agora distribuímos cada termo e agrupamos:
(u\times v)\cdot u = x_{1}x_{2}y_{3} - x_{1}x_{3}y_{2} + x_{2}x_{3}y_{1} - x_{1}x_{2}y_{3} + x_{1}x_{3}y_{2} - x_{2}x_{3}y_{1}.
Observe que todos os termos se cancelam em pares:
x_{1}x_{2}y_{3} - x_{1}x_{2}y_{3} = 0,\quad - x_{1}x_{3}y_{2} + x_{1}x_{3}y_{2} = 0,\quad x_{2}x_{3}y_{1} - x_{2}x_{3}y_{1} = 0.
Logo
(u\times v)\cdot u = 0,
o que prova que u\times v é ortogonal a u.

Passo 4

De modo análogo, calculamos (u\times v)\cdot v. Usando as mesmas componentes:
(u\times v)\cdot v = (x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})\,y_{1} + (x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})\,y_{2} + (x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})\,y_{3}.

Passo 5

Distribuindo e agrupando:
(u\times v)\cdot v = x_{2}y_{1}y_{3} - x_{3}y_{1}y_{2} + x_{3}y_{1}y_{2} - x_{1}y_{2}y_{3} + x_{1}y_{2}y_{3} - x_{2}y_{1}y_{3}.
Novamente cada termo se anula com seu oposto, resultando
(u\times v)\cdot v = 0.
Isso mostra que u\times v é também ortogonal a v.

Resposta

Ficou provado que
(u\times v)\cdot u = 0 \quad\text{e}\quad (u\times v)\cdot v = 0,
ou seja, u\times v é ortogonal a u e a v.

Exercícios relacionados