Sejam u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) vetores em \mathbb{R}^{3}. O produto vetorial de u por v é definido como o vetor
u \times v=\left(x_{2} y_{3}-x_{3} y_{2}, x_{3} y_{1}-x_{1} y_{3}, x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}\right) .
Prove que valem as seguintes propriedades:
e_{1} \times e_{2}=e_{3}, e_{2} \times e_{3}=e_{1}, e_{3} \times e_{1}=e_{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, aplicando a definição do produto vetorial em \mathbb{R}^3, os vetores da base canônica satisfazem
u \times v = \bigl(x_2y_3 - x_3y_2,\;x_3y_1 - x_1y_3,\;x_1y_2 - x_2y_1\bigr)
que gera as relações e_1 \times e_2 = e_3, e_2 \times e_3 = e_1 e e_3 \times e_1 = e_2.

Passo 2

Primeiro, recorde que os vetores da base canônica são
e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).

Passo 3

Vamos calcular e_1 \times e_2 pela definição. Aqui
x=(1,0,0),\quad y=(0,1,0).
O componente 1 é
x_2y_3 - x_3y_2 = 0\cdot0 - 0\cdot1 = 0.
O componente 2 é
x_3y_1 - x_1y_3 = 0\cdot0 - 1\cdot0 = 0.
O componente 3 é
x_1y_2 - x_2y_1 = 1\cdot1 - 0\cdot0 = 1.
Logo,
e_1 \times e_2 = (0,0,1) = e_3.

Passo 4

Agora e_2 \times e_3 com
x=(0,1,0),\quad y=(0,0,1).
Componente 1:
1\cdot1 - 0\cdot0 = 1,
componente 2:
0\cdot0 - 0\cdot1 = 0,
componente 3:
0\cdot0 - 1\cdot0 = 0.
Então
e_2 \times e_3 = (1,0,0) = e_1.

Passo 5

Finalmente e_3 \times e_1 com
x=(0,0,1),\quad y=(1,0,0).
Componente 1:
0\cdot0 - 1\cdot0 = 0,
componente 2:
1\cdot1 - 0\cdot0 = 1,
componente 3:
0\cdot0 - 0\cdot1 = 0.
Portanto
e_3 \times e_1 = (0,1,0) = e_2.

Resposta

e_1 \times e_2 = e_3
e_2 \times e_3 = e_1
e_3 \times e_1 = e_2

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