Sejam u=(2,-1,0) e v=(1,-3,2).
Calcule a área do triângulo determinado pelos vetores 2 u e-v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço: u = (2, -1, 0) e v = (1, -3, 2). A tarefa é calcular a área do triângulo formado pelos vetores 2u e -v. Para isso, vamos usar noções de álgebra vetorial, especificamente o produto vetorial (ou cruz) e a fórmula da área do triângulo usando esse produto. Vamos precisar entender como multiplicar vetores dessa maneira e calcular a magnitude do resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores 2u e -v. Multiplicar um vetor por um escalar (nesse caso, 2 ou -1) significa multiplicar cada componente do vetor por esse número.
Então:
2u = 2 cdot (2, -1, 0) = (4, -2, 0)
-v = -1 cdot (1, -3, 2) = (-1, 3, -2)
Agora temos os dois vetores que formam o triângulo: (4, -2, 0) e (-1, 3, -2).

Passo 3

A área do triângulo formado por dois vetores pode ser encontrada usando a fórmula:
Área = 12 | a times b | Á
Onde a times b é o produto vetorial dos vetores a e b, e | cdot | representa a magnitude (ou comprimento) do vetor resultante.
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores (4, -2, 0) e (-1, 3, -2).

Passo 4

O produto vetorial de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a times b = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Aplicando isso aos nossos vetores:
a = (4, -2, 0)
b = (-1, 3, -2)
Então:
a times b = ( (-2)(-2) - (0)(3), (0)(-1) - (4)(-2), (4)(3) - (-2)(-1) ) = (4 - 0, 0 + 8, 12 - 2) = (4, 8, 10)

Passo 5

Agora que temos o vetor resultante do produto vetorial, vamos calcular a sua magnitude. A magnitude de um vetor c = (c1, c2, c3) é dada por:
| c | = raizc1^2 + c2^2 + c3^2
Aplicando isso ao vetor (4, 8, 10):
| a times b | = raiz4^2 + 8^2 + 10^2 = raiz16 + 64 + 100 = raiz180 = raiz36 cdot 5 = 6raiz5

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da área do triângulo:
Área = 12 | a times b | = 12 cdot 6raiz5 = 3raiz5 Á

Resposta

A área do triângulo determinado pelos vetores 2u e -v é 3raiz5 unidades quadradas.

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