Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando indução matemática! A gente precisa mostrar que, para qualquer número inteiro
e
, a seguinte desigualdade é verdadeira:
Para isso, vamos seguir os passos da indução: verificar o caso base, assumir que funciona para um
qualquer e então provar que funciona para
.
Passo 2
Caso Base (
):
Primeiro, vamos testar se a desigualdade vale para
.
Simplificando o lado direito:
Então, a desigualdade fica:
Como
, podemos verificar que:
Isso confirma que
para
. Portanto, o caso base é verdadeiro.
Passo 3
Hipótese de Indução:
Vamos supor que a desigualdade vale para algum
, ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a desigualdade também vale para
.
Passo 4
Passo Indutivo (
):
Queremos mostrar que:
Sabemos que
. Usando a hipótese de indução:
Vamos comparar isso com o que queremos provar:
Simplificando:
Então, temos que:
Isso mostra que
, completando o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
e
, a desigualdade
é verdadeira.