Use indução para demonstrar os seguintes fatos:
a^n>1+n(a-1) ; forall n >= 2, e a>1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando indução matemática! A gente precisa mostrar que, para qualquer número inteiro a^n > 1 + n(a - 1) e , a seguinte desigualdade é verdadeira:
Para isso, vamos seguir os passos da indução: verificar o caso base, assumir que funciona para um qualquer e então provar que funciona para .

Passo 2

Caso Base ( a^2 > 1 + 2(a - 1) ):
Primeiro, vamos testar se a desigualdade vale para 1 + 2(a - 1) = 1 + 2a - 2 = 2a - 1 .
a^2 > 2a - 1
Simplificando o lado direito:
a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2 > 0
Então, a desigualdade fica:
Como , podemos verificar que:
Isso confirma que para . Portanto, o caso base é verdadeiro.

Passo 3

Hipótese de Indução:
Vamos supor que a desigualdade vale para algum a^k > 1 + k(a - 1) , ou seja:
Essa suposição é a nossa hipótese de indução e vamos usá-la para provar que a desigualdade também vale para .

Passo 4

Passo Indutivo ( a^k+1 > 1 + (k + 1)(a - 1) ):
Queremos mostrar que:
a^k+1 = a cdot a^k > a (1 + k(a - 1)) = a + ak(a - 1)
Sabemos que 1 + (k + 1)(a - 1) = 1 + k(a - 1) + (a - 1) . Usando a hipótese de indução:
1 + k(a - 1) + a - 1 = a + k(a - 1)
Vamos comparar isso com o que queremos provar:
a^k+1 > a + ak(a - 1) > a + k(a - 1) + 1
Simplificando:
Então, temos que:
Isso mostra que , completando o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo e , a desigualdade é verdadeira.

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