Sejam 
  e 
  matrizes 
  de um espaço vetorial 
  com produto interno 
 , calcule 
  em cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas matrizes quadradas 
  e 
  de tamanho 
  no espaço vetorial 
 . O produto interno entre essas matrizes é definido pela fórmula 
 , onde 
  representa a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o produto interno utilizando essa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transposta de uma matriz. A transposta 
  de uma matriz 
  é obtida trocando suas linhas pelas colunas. Por exemplo, se 
  é:
então sua transposta 
  é:
Passo 3
Depois de obter a transposta de 
 , multiplicamos 
  por 
 . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas de 
  pelas colunas de 
 . Para matrizes 
 , fica assim:
Passo 4
Agora, aplicamos a função traço 
 , que soma os elementos da diagonal principal da matriz resultante 
 . No nosso exemplo:
Passo 5
Simplificando, o produto interno 
  é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das matrizes 
  e 
 . Para matrizes 
 , a fórmula geral fica:
Isso significa que multiplicamos cada elemento de 
  pelo correspondente em 
  e somamos tudo.
Resposta
O produto interno entre as matrizes 
  e 
  é dado por: