Sejam
e
vetores de
. Mostre que se
é LI e
é ortogonal a
e
(simultaneamente), então
é base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores no espaço tridimensional,
. A gente tem três vetores:
,
e
. O enunciado diz que os vetores
e
são linearmente independentes (LI) e que o vetor
é ortogonal a ambos, ou seja, ele forma um ângulo de 90 graus com cada um deles. Nosso objetivo é mostrar que, com essas condições, o conjunto
forma uma base para
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como independência linear, base de um espaço vetorial e ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a não ser se todos os coeficientes forem zero. No nosso caso,
sendo LI significa que nenhuma das duas pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles é zero. Então, como
é ortogonal a
e também a
, temos:
Isso significa que
está “em pé” em relação ao plano formado por
e
.
Passo 4
Para mostrar que
é uma base de
, precisamos provar que esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos isso, eles vão gerar todo o espaço
.
Passo 5
Vamos assumir que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Queremos mostrar que
.
Passo 6
Vamos tirar o produto interno de ambos os lados dessa equação com
:
Distribuindo o produto interno:
Sabemos que
, então:
Passo 7
De forma similar, vamos tirar o produto interno da equação original com
:
Distribuindo:
Como
, fica:
Passo 8
Temos um sistema de equações (1) e (2) com as incógnitas
e
. Como
é LI, o único solução é
.
Passo 9
Voltando à equação original:
Isso implica que
. Como
não é o vetor zero, necessariamente
.
Resposta
Conseguimos mostrar que
, então os vetores
são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de
.