Sejam u, v e w vetores de V^3. Mostre que se u, v é LI e w é ortogonal a u e v (simultaneamente), então u, v, w é base de V^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre vetores no espaço tridimensional, V^3. A gente tem três vetores: u, v e w. O enunciado diz que os vetores u e v são linearmente independentes (LI) e que o vetor w é ortogonal a ambos, ou seja, ele forma um ângulo de 90 graus com cada um deles. Nosso objetivo é mostrar que, com essas condições, o conjunto u, v, w forma uma base para V^3. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como independência linear, base de um espaço vetorial e ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é LI se nenhuma combinação linear deles dá o vetor zero, a não ser se todos os coeficientes forem zero. No nosso caso, u, v sendo LI significa que nenhuma das duas pode ser escrita como múltiplo da outra.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ortogonalidade. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) entre eles é zero. Então, como w é ortogonal a u e também a v, temos:
w cdot u = 0 e w cdot v = 0
Isso significa que w está “em pé” em relação ao plano formado por u e v.

Passo 4

Para mostrar que u, v, w é uma base de V^3, precisamos provar que esses três vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos isso, eles vão gerar todo o espaço V^3.

Passo 5

Vamos assumir que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
au + bv + cw = 0
Queremos mostrar que a = b = c = 0.

Passo 6

Vamos tirar o produto interno de ambos os lados dessa equação com u:
(au + bv + cw) cdot u = 0 cdot u = 0
Distribuindo o produto interno:
a(u cdot u) + b(v cdot u) + c(w cdot u) = 0
Sabemos que w cdot u = 0, então:
a(u cdot u) + b(v cdot u) = 0 (1)

Passo 7

De forma similar, vamos tirar o produto interno da equação original com v:
(au + bv + cw) cdot v = 0 cdot v = 0
Distribuindo:
a(u cdot v) + b(v cdot v) + c(w cdot v) = 0
Como w cdot v = 0, fica:
a(u cdot v) + b(v cdot v) = 0 (2)

Passo 8

Temos um sistema de equações (1) e (2) com as incógnitas a e b. Como u, v é LI, o único solução é a = b = 0.

Passo 9

Voltando à equação original:
0u + 0v + cw = 0
Isso implica que cw = 0. Como w não é o vetor zero, necessariamente c = 0.

Resposta

Conseguimos mostrar que a = b = c = 0, então os vetores u, v, w são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de V^3.

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