Sejam 
  e 
  subconjuntos do 
 .
b) (1,0 ponto) Determine 
  e exiba uma base?
b) (1,0 ponto) Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a interseção entre dois conjuntos 
  e 
  no espaço tridimensional 
 . Estamos trabalhando com álgebra linear, mais especificamente com subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar identificar quais vetores pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo e, depois, encontrar uma base para esse conjunto de vetores comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada conjunto representa:
- 
: Esse conjunto contém todos os vetores onde a coordenada é zero. Ou seja, é o plano XY.  - 
: Aqui, a coordenada é a soma de e . Este é um plano inclinado no espaço tridimensional.  
Passo 3
Para encontrar 
 , precisamos achar os vetores que estão nos dois conjuntos ao mesmo tempo. Ou seja, queremos vetores que satisfazem ambas as condições:
Como 
  é igual a zero no conjunto 
 , podemos substituir na segunda equação:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos expressar 
  em termos de 
 :
Então, os vetores na interseção 
  têm a forma:
Podemos fatorar o 
  para escrever de forma mais simples:
Isso mostra que todos os vetores na interseção são múltiplos escalares do vetor 
 .
Resposta
A interseção 
  é o conjunto de todos os vetores 
  onde 
  é um número real. Uma base para 
  é o vetor 
 .