Sejam
um espaço vetorial real e
:
(a) Defina:
é um subespaço de
.
(b) Defina:
é linearmente independente.
(c) Defina: dimensão de
.
(d) Mostre que: se o conjunto
é linearmente independente então
também é linearmente independente.
(e) Mostre que: se o conjunto
é linearmente independente e os números reais
e
são tais que
, então o conjunto
também é linearmente independente.
(a) Defina:
(b) Defina:
(c) Defina: dimensão de
(d) Mostre que: se o conjunto
(e) Mostre que: se o conjunto
Passo 1
O enunciado trabalha em um espaço vetorial real
e pede:
(a) definir o que é um subespaço de ;
(b) definir independência linear de um conjunto ;
(c) definir dimensão de ;
(d) provar que, se é independente, então
também é independente;
(e) generalizar o item anterior para quando
.
(a) definir o que é um subespaço de
(b) definir independência linear de um conjunto
(c) definir dimensão de
(d) provar que, se
(e) generalizar o item anterior para
Passo 2
Definição de subespaço.
Um conjunto é subespaço de
se e somente se satisfaz três propriedades:
Um conjunto
-
. - para quaisquer
, vale . - para qualquer
e , vale .
Passo 3
Definição de independência linear.
O conjunto é linearmente independente se, sempre que
O conjunto
então todos os escalares
são zero.
Passo 4
Definição de dimensão.
A dimensão de é o número de vetores de qualquer base de
, isto é, o cardinal de um conjunto maximal de vetores linearmente independentes que gera
.
A dimensão de
Passo 5
Prova de (d).
Suponha independente e considere
. Se existem
tais que
Suponha
então
Pela independência de
segue
Resolvendo esse sistema, obtemos
e
. Logo
é independente.
Passo 6
Prova de (e).
Suponha
então
Independência de
implica o sistema
Como o determinante
. Portanto
é independente.
Resposta
(a)
é subespaço se contém
, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
(b) é linearmente independente se
implica
para todo
.
(c) é o número de vetores de qualquer base de
.
(d) Vimos que é independente porque a combinação linear nula força os coeficientes a zero.
(e) Analogamente, para o determinante
garante independência linear.
(b)
(c)
(d) Vimos que
(e) Analogamente, para