Sejam V um espaço vetorial real e A=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} \subset V :
(a) Defina: S é um subespaço de V.
(b) Defina: A é linearmente independente.
(c) Defina: dimensão de V.
(d) Mostre que: se o conjunto \{u, v\} é linearmente independente então \{3 u+v, 2 u- v\} também é linearmente independente.
(e) Mostre que: se o conjunto \{u, v\} é linearmente independente e os números reais a, b, c e d são tais que a d-b c \neq 0, então o conjunto \{a u+c v, b u+d v\} também é linearmente independente.

Passo 1

O enunciado trabalha em um espaço vetorial real V e pede:
(a) definir o que é um subespaço de V;
(b) definir independência linear de um conjunto A\subset V;
(c) definir dimensão de V;
(d) provar que, se \{u,v\} é independente, então \{3u+v,\;2u-v\} também é independente;
(e) generalizar o item anterior para \{au+cv,\;bu+dv\} quando ad-bc\neq0.

Passo 2

Definição de subespaço.
Um conjunto S\subset V é subespaço de V se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. 0\in S.
  2. para quaisquer x,y\in S, vale x+y\in S.
  3. para qualquer \lambda\in\mathbb{R} e x\in S, vale \lambda x\in S.

Passo 3

Definição de independência linear.
O conjunto A=\{v_1,\dots,v_n\}\subset V é linearmente independente se, sempre que
\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\cdots+\alpha_n v_n = 0,
então todos os escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n são zero.

Passo 4

Definição de dimensão.
A dimensão de V é o número de vetores de qualquer base de V, isto é, o cardinal de um conjunto maximal de vetores linearmente independentes que gera V.

Passo 5

Prova de (d).
Suponha \{u,v\} independente e considere \{3u+v,\;2u-v\}. Se existem \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(3u+v)+\beta(2u-v)=0,
então
(3\alpha+2\beta)\,u + (\alpha-\beta)\,v = 0.
Pela independência de \{u,v\} segue
3\alpha+2\beta=0, \quad \alpha-\beta=0.
Resolvendo esse sistema, obtemos \alpha=0 e \beta=0. Logo \{3u+v,\;2u-v\} é independente.

Passo 6

Prova de (e).
Suponha \{u,v\}\) independente e dados \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\) com \(ad-bc\neq0\). Se \[\alpha\,(au+cv)+\beta\,(bu+dv)=0,
então
(a\alpha+b\beta)\,u + (c\alpha + d\beta)\,v = 0.
Independência de \{u,v\} implica o sistema
\begin{cases} a\alpha + b\beta = 0,\\\ c\alpha + d\beta = 0. \end{cases}
Como o determinante ad-bc\neq0\], a única solução é \(\alpha=\beta=0. Portanto \{au+cv,\;bu+dv\} é independente.

Resposta

(a) S\subset V é subespaço se contém 0, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
(b) A=\{v_1,\dots,v_n\} é linearmente independente se \sum_i\alpha_i v_i=0 implica \alpha_i=0 para todo i.
(c) \dim V é o número de vetores de qualquer base de V.
(d) Vimos que \{3u+v,2u-v\} é independente porque a combinação linear nula força os coeficientes a zero.
(e) Analogamente, para \{au+cv,bu+dv\} o determinante ad-bc\neq0 garante independência linear.

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