Seja S o subespaço do \mathbb{R}^{4} que é gerado pelas colunas da matriz A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 & 5\end{array}\right) :
(a) Escalonando A, obtenha uma base para S.
(b) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A ?
(c) Escalonando A^{T} (transposta de A ), obtenha uma base para S.
(d) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A^{\prime} ?
Passo 1
O enunciado define S\subset\mathbb{R}^4 como o subespaço gerado pelas colunas de
Vamos usar escalonamento por linhas para (a) obter os pivôs e extrair uma base para o espaço-coluna de A e para (b) relacionar a dimensão de S com o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida. Em seguida, faremos o mesmo em A^T para (c) e (d).
Essas três linhas formam uma base para o espaço-linha de A^T, que é exatamente o espaço-coluna de A. Assim, outra base para S é
\bigl\{(1,0,0,-1),\,(0,1,0,1),\,(0,0,1,1)\bigr\}.
Passo 5
Do mesmo modo que em (b), o número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A^T é igual a \dim S.
Resposta
(a) \{(1,0,1,0),(1,1,1,1),(1,2,3,4)\}
(b) \dim S é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A.
(c) \{(1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)\}
(d) \dim S é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A^T.