Seja S o subespaço do \mathbb{R}^{4} que é gerado pelas colunas da matriz A=\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 3 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 & 5\end{array}\right) :
(a) Escalonando A, obtenha uma base para S.
(b) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A ?
(c) Escalonando A^{T} (transposta de A ), obtenha uma base para S.
(d) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A^{\prime} ?

Passo 1

O enunciado define S\subset\mathbb{R}^4 como o subespaço gerado pelas colunas de
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}.
Vamos usar escalonamento por linhas para (a) obter os pivôs e extrair uma base para o espaço-coluna de A e para (b) relacionar a dimensão de S com o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida. Em seguida, faremos o mesmo em A^T para (c) e (d).

Passo 2

Escalonamos A:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 1 & 3 & 3\\\\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_3\gets R_3-R_1}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_4\gets R_4-R_2}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R_4\gets R_4-R_3}\; \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Os pivôs ficam nas colunas 1,2,3. Logo uma base para S é dada pelas colunas originais de A de índice 1,2,3:
\bigl\{(1,0,1,0),\,(1,1,1,1),\,(1,2,3,4)\bigr\}.

Passo 3

A forma escalonada reduzida de A tem exatamente três linhas não nulas (as correspondentes aos pivôs). Como essa quantidade é o posto de A, temos
\dim S \;=\;\text{número de linhas não nulas da forma escalonada de }A.úã

Passo 4

Agora escalonamos
A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 1 & 3 & 3 & 5 \end{pmatrix}.
Fazendo operações análogas obtemos na forma escalonada reduzida as três primeiras linhas não nulas:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Essas três linhas formam uma base para o espaço-linha de A^T, que é exatamente o espaço-coluna de A. Assim, outra base para S é
\bigl\{(1,0,0,-1),\,(0,1,0,1),\,(0,0,1,1)\bigr\}.

Passo 5

Do mesmo modo que em (b), o número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A^T é igual a \dim S.

Resposta

(a) \{(1,0,1,0),(1,1,1,1),(1,2,3,4)\}
(b) \dim S é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A.
(c) \{(1,0,0,-1),(0,1,0,1),(0,0,1,1)\}
(d) \dim S é igual ao número de linhas não nulas na forma escalonada reduzida de A^T.

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