Sejam
um espaço vetorial,
um operador linear e
um autovalor de
. Mostre que o autoespaço
associado a
(também denotado por
) é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado um espaço vetorial
. - Dado um operador linear
. - Dado um escalar
que é um autovalor de . Isto significa (pela definição de autovalor) que existe um vetor não-nulo tal que . - Define-se o autoespaço (ou espaço próprio) associado a
por
O que se pede: mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Ou seja, devemos provar que
e satisfaz as propriedades que caracterizam um subespaço: contém o vetor zero e é fechado para soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Definição importante que vamos usar (explicada):
- Um subconjunto
de um espaço vetorial é subespaço vetorial quando (i) , (ii) para quaisquer tem-se (fechado por soma) e (iii) para qualquer escalar e qualquer tem-se (fechado por produto escalar). - Também usaremos a linearidade de
: para quaisquer e quaisquer escalares vale . Vou aplicar exatamente essa propriedade nas verificações.
Passo 3
Verificar que
não é vazio e contém o vetor zero:
- Pela definição de autovalor, existe
com . Logo , então não é vazio (na verdade contém vetor não-nulo). - Mesmo sem usar que
é autovalor, podemos ver que porque, pela linearidade de ,
portanto
. Mostrar que
é útil porque é uma das condições para ser subespaço.
Passo 4
Fechamento por soma (provar que se
então
):
- Começo supondo
e . Pelas definições isso significa
- Usando a linearidade de
para o vetor tenho:
- Substituindo as igualdades acima:
- Assim
satisfaz a condição para estar em , ou seja . Portanto é fechado sob soma.
Passo 5
Fechamento por multiplicação escalar (provar que se
e
é escalar, então
):
- Tomo
então . Seja um escalar qualquer. Pela linearidade de ,
- Substituindo
,
- Portanto
também satisfaz , logo . Assim é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 6
Observação alternativa (visão conceitual curta):
- Defina o operador linear
, onde é a identidade em , isto é, para todo . Então é linear porque é combinação linear de operadores lineares. - Note que
- Como núcleo (
) de um operador linear, é automaticamente um subespaço vetorial. Esta é uma forma mais abstrata e elegante, que confirma o que acabamos de provar diretamente.
Passo 7
Conclusão final e incentivo:
- Reunindo os resultados:
contém , é fechado para soma e para multiplicação escalar. Pelas condições da definição, é um subespaço vetorial de . - Obs.: além de ser subespaço, como
é autovalor existe pelo menos um vetor não-nulo em , então não é apenas . Bom trabalho — você já domina a ideia: o conjunto de vetores que são apenas escalados por forma sempre um subespaço!