Sejam V um espaço vetorial, T: V \rightarrow V um operador linear e \lambda um autovalor de T. Mostre que o autoespaço \operatorname{Aut}_{\mathrm{T}}(\lambda) associado a \lambda (também denotado por E_{\lambda} ) é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado um espaço vetorial V.
  • Dado um operador linear T: V \to V.
  • Dado um escalar \lambda que é um autovalor de T. Isto significa (pela definição de autovalor) que existe um vetor não-nulo v\in V tal que T(v)=\lambda v.
  • Define-se o autoespaço (ou espaço próprio) associado a \lambda por
E_{\lambda}=\{\,w\in V \mid T(w)=\lambda w\,\}.
O que se pede: mostrar que E_{\lambda} é um subespaço vetorial de V. Ou seja, devemos provar que E_{\lambda}\subseteq V e satisfaz as propriedades que caracterizam um subespaço: contém o vetor zero e é fechado para soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Definição importante que vamos usar (explicada):
  • Um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço vetorial quando (i) 0\in U, (ii) para quaisquer u_1,u_2\in U tem-se u_1+u_2\in U (fechado por soma) e (iii) para qualquer escalar \alpha e qualquer u\in U tem-se \alpha u\in U (fechado por produto escalar).
  • Também usaremos a linearidade de T: para quaisquer x,y\in V e quaisquer escalares \alpha,\beta vale T(\alpha x+\beta y)=\alpha T(x)+\beta T(y). Vou aplicar exatamente essa propriedade nas verificações.

Passo 3

Verificar que E_{\lambda} não é vazio e contém o vetor zero:
  • Pela definição de autovalor, existe v\neq 0 com T(v)=\lambda v. Logo v\in E_{\lambda}, então E_{\lambda} não é vazio (na verdade contém vetor não-nulo).
  • Mesmo sem usar que \lambda é autovalor, podemos ver que 0\in E_{\lambda} porque, pela linearidade de T,
T(0)=0=\lambda\cdot 0,
portanto 0\in E_{\lambda}. Mostrar que 0\in E_{\lambda} é útil porque é uma das condições para ser subespaço.

Passo 4

Fechamento por soma (provar que se u,w\in E_{\lambda} então u+w\in E_{\lambda}):
  • Começo supondo u\in E_{\lambda} e w\in E_{\lambda}. Pelas definições isso significa
T(u)=\lambda u\quad\text{e}\quad T(w)=\lambda w.
  • Usando a linearidade de T para o vetor u+w tenho:
T(u+w)=T(u)+T(w).
  • Substituindo as igualdades acima:
T(u+w)=\lambda u+\lambda w=\lambda(u+w).
  • Assim u+w satisfaz a condição para estar em E_{\lambda}, ou seja u+w\in E_{\lambda}. Portanto E_{\lambda} é fechado sob soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar (provar que se u\in E_{\lambda} e \alpha é escalar, então \alpha u\in E_{\lambda}):
  • Tomo u\in E_{\lambda} então T(u)=\lambda u. Seja \alpha um escalar qualquer. Pela linearidade de T,
T(\alpha u)=\alpha T(u).
  • Substituindo T(u)=\lambda u,
T(\alpha u)=\alpha(\lambda u)=(\alpha\lambda)u=\lambda(\alpha u).
  • Portanto \alpha u também satisfaz T(\alpha u)=\lambda(\alpha u), logo \alpha u\in E_{\lambda}. Assim E_{\lambda} é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 6

Observação alternativa (visão conceitual curta):
  • Defina o operador linear S=T-\lambda I, onde I:V\to V é a identidade em V, isto é, I(v)=v para todo v\in V. Então S é linear porque é combinação linear de operadores lineares.
  • Note que
\ker(S)=\{\,v\in V\mid S(v)=0\,\}=\{\,v\in V\mid T(v)-\lambda v=0\,\}=\{\,v\in V\mid T(v)=\lambda v\,\}=E_{\lambda}.
  • Como núcleo ( \ker) de um operador linear, E_{\lambda} é automaticamente um subespaço vetorial. Esta é uma forma mais abstrata e elegante, que confirma o que acabamos de provar diretamente.

Passo 7

Conclusão final e incentivo:
  • Reunindo os resultados: E_{\lambda} contém 0, é fechado para soma e para multiplicação escalar. Pelas condições da definição, E_{\lambda} é um subespaço vetorial de V.
  • Obs.: além de ser subespaço, como \lambda é autovalor existe pelo menos um vetor não-nulo em E_{\lambda}, então E_{\lambda} não é apenas \{0\}. Bom trabalho — você já domina a ideia: o conjunto de vetores que são apenas escalados por T forma sempre um subespaço!

Resposta

E_{\lambda}=\{v\in V\mid T(v)=\lambda v\} é um subespaço vetorial de V.

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