é diagonalizável.
Informações dadas que vamos usar: a matriz acima é a representação de T na base canônica; o espaço tem dimensão 3. A pergunta implícita é sobre diagonalizabilidade sobre \mathbb{R} (já que T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3).]
Passo 2
O que significa ser diagonalizável (aula rápida e objetiva): uma matriz A de ordem n é diagonalizável se existe uma base de \mathbb{R}^n formada por vetores próprios de A. Em termos práticos, isso dá duas formas equivalentes de verificar:
Calcular os autovalores (valores próprios) de A como raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I). A multiplicidade algébrica de um autovalor é sua multiplicidade como raiz desse polinômio.
Para cada autovalor \lambda, calcular a multiplicidade geométrica, isto é, a dimensão do espaço próprio \ker(A-\lambda I) (número de vetores próprios linearmente independentes associados a \lambda).
Critério prático: A é diagonalizável (sobre \mathbb{R}) se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica, e somando essas dimensões obtemos n. Em particular, se algum autovalor tem multiplicidade algébrica m mas sua multiplicidade geométrica é menor que m, então A não é diagonalizável.
Agora vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I). Seja
Podemos eliminar com R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{6}{7}R_1 (ou operar diretamente). Para simplificar, divido R_1 por 1 na forma de pensar: escrevendo as equações, a primeira linha dá
(dividindo por 6). Note que a terceira equação é proporcional à primeira (multiplicando a primeira por 1/7 não dá exatamente, mas as duas implicam a mesma relação entre x_1,x_2,x_3 quando combinadas). Resolvendo a partir de
7x_1 - x_2 + x_3 = 0,
podemos escolher dois parâmetros ou identificar as dependências com cuidado. Façamos redução formal: usar R_1 e R_3 para obter sistematicamente:
Dividindo por 36 dá (0,-1,1), ou seja a equação -x_2 + x_3 = 0, então x_2 = x_3. Substituindo em 7x_1 - x_2 + x_3 = 0 dá 7x_1 - x_3 + x_3 =7x_1=0 então x_1=0. Assim x_1=0, x_2=x_3 livres com x_3 parâmetro s. Os vetores próprios são
x=s\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Portanto a multiplicidade geométrica de \lambda=-4 é 1, igual à multiplicidade algébrica 1.
(Comentário rápido: podíamos também ter resolvido o sistema por eliminação direta; o resultado é o mesmo: um único gerador (0,1,1).)]
Passo 7
Aplicar o critério de diagonalizabilidade: os autovalores são \lambda=2 com multiplicidade algébrica 2 e \lambda=-4 com multiplicidade algébrica 1. Calculamos as dimensões dos espaços próprios (multiplicidades geométricas): para \lambda=2 a dimensão é 1, para \lambda=-4 a dimensão é 1. A soma das dimensões das variedades próprias é 1+1=2, que é menor que 3, a dimensão do espaço. Em particular, para \lambda=2 temos multiplicidade geométrica 1 menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso impede a existência de uma base de \mathbb{R}^3 formada por vetores próprios.
Conclusão: a matriz (e portanto o operador T) não é diagonalizável sobre \mathbb{R}.