Sejam V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) e B=\left\{1+t, 2+t^{2}\right\}. Verifique se B é uma base de V.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial
V = \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})
(polinômios de grau <=2) e a família
B = \{\,1+t,\;2+t^{2}\}.
Para que B seja base de V, é preciso (i) B ser linearmente independente e (ii) \mathrm{span}(B)=V.

Passo 2

Verificamos linearidade independente de B. Suponha
\alpha\,(1+t)+\beta\,(2+t^{2})=0\quad\text{polinômio nulo.}ô
Isso equivale ao polinômio
(\alpha+2\beta)+\alpha\,t+\beta\,t^{2}=0+0\,t+0\,t^{2}.
Igualando coeficientes, obtemos
\alpha=0,\quad \beta=0.
Logo 1+t e 2+t^{2} são linearmente independentes.

Passo 3

Para ver se B gera V, tente escrever um polinômio arbitrário
p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}
como combinação
x\,(1+t)+y\,(2+t^{2})=(x+2y)+x\,t+y\,t^{2}.
Comparando,
a_{1}=x,\quad a_{2}=y,\quad a_{0}=x+2y = a_{1}+2a_{2}.
Nem todo (a_{0},a_{1},a_{2}) satisfaz a_{0}=a_{1}+2a_{2}. Logo o sistema não resolve para polinômios com a_{0}\neq a_{1}+2a_{2}, ou seja, \mathrm{span}(B)\neq V.

Resposta

B não é base de V.

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