Mostre que B=\{(1,2),(0,3)\} é uma base de \mathbb{R}^{2}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
B = \{(1,2),\,(0,3)\}
é uma base de \mathbb{R}^2. Lembra que uma base de \mathbb{R}^2 é um conjunto de dois vetores que (1) são linearmente independentes e (2) geram todo \mathbb{R}^2. Vamos verificar essas duas propriedades.
Como c_1=0, a segunda equação vira 3c_2=0, logo c_2=0. Concluímos que a única combinação linear que zera os vetores é trivial, portanto eles são linearmente independentes.
Passo 3
Verificação do spanning (geração de \mathbb{R}^2\)). Tome um vetor qualquer \((x,y)\in\mathbb{R}^2\). Queremos achar escalares \(a,b\) tais que
\[a\,(1,2) + b\,(0,3) = (x,y).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a = x,\\\\ 2a + 3b = y. \end{cases}
Escolhendo a = x\], a segunda equação fica \(2x + 3b = y, de onde
b = \frac{y - 2x}{3},
sempre bem definido. Logo qualquer (x,y) é combinação de (1,2) e (0,3), ou seja, eles geram \mathbb{R}^2.
(Pode-se também notar que a matriz cujas colunas são (1,2) e (0,3) tem determinante \det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&3\end{pmatrix}=3\neq0, o que já garante independência e geração.)
Resposta
O conjunto B satisfaz independência linear e gera \mathbb{R}^2. Portanto, B é uma base de \mathbb{R}^2.