Sejam v_{1}=(1,-2,2) e v_{2}=(-1,0,3) vetores em \mathbb{R}^{3}. Determine:
v=\frac{1}{\left\|v_{1}\right\|} v_{1};

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores v_{1}=(1,-2,2) e v_{2}=(-1,0,3) em \mathbb{R}^{3}. O que é pedido é calcular o vetor
v=\frac{1}{\left\|v_{1}\right\|}v_{1}.
Informações relevantes que temos: as componentes de v_{1} são 1, -2 e 2. Não há necessidade de usar v_{2} para este item.

Passo 2

Primeiro precisamos entender e calcular \left\|v_{1}\right\|, a norma euclidiana (comprimento) de v_{1}. A definição da norma euclidiana para um vetor w=(w_{1},w_{2},w_{3}) em \mathbb{R}^{3} é
\left\|w\right\|=\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}.
Aqui w_{1},w_{2},w_{3} são as componentes do vetor; a norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes — pense nisso como o comprimento do segmento que liga a origem ao ponto representado por w.
Aplicando a fórmula a v_{1}=(1,-2,2):
\left\|v_{1}\right\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos os quadrados e a soma:
1^{2}=1,\qquad (-2)^{2}=4,\qquad 2^{2}=4.
Somando:
1+4+4=9.
Portanto
\left\|v_{1}\right\|=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Explicar como multiplicar um vetor por escalar: se a é um escalar e w=(w_{1},w_{2},w_{3}) então
a w=(a w_{1},\,a w_{2},\,a w_{3}).
No nosso caso o escalar é a=\dfrac{1}{\left\|v_{1}\right\|}=\dfrac{1}{3}. Multiplicando componente a componente:
\frac{1}{3}\cdot 1=\frac{1}{3},\qquad \frac{1}{3}\cdot(-2)=-\frac{2}{3},\qquad \frac{1}{3}\cdot 2=\frac{2}{3}.
Assim o vetor obtido é \left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right).

Passo 5

Verificação (útil para prova): o objetivo de \dfrac{1}{\|v_{1}\|}v_{1} é obter um vetor unitário (norma 1) na mesma direção de v_{1}. Vamos checar a norma do vetor encontrado:
\left\|\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)\right\| = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{1+4+4}{9}} = \sqrt{\frac{9}{9}}=1.
Confere: é mesmo um vetor unitário.

Resposta

\left(\dfrac{1}{3},-\dfrac{2}{3},\dfrac{2}{3}\right)

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