Sejam v_{1}=(1,-2,2) e v_{2}=(-1,0,3) vetores em \mathbb{R}^{3}. Determine:
\left|<v_{1}+v_{2}, v_{1}-v_{2}>\right|.

Passo 1

Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede. O enunciado fornece dois vetores em \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,-2,2),\qquad v_{2}=(-1,0,3).
O que se pede é o valor absoluto do produto interno (produto escalar) entre v_{1}+v_{2} e v_{1}-v_{2}, isto é:
\left|\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}-v_{2}\rangle\right|.

Passo 2

Vou explicar a ferramenta principal: o produto interno em \mathbb{R}^3. Dados a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3), o produto interno (ou produto escalar) é definido por
\langle a,b\rangle = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.
Propriedades úteis (sem provar rigorosamente, só para usar na prática):
  • É simétrico: \langle a,b\rangle=\langle b,a\rangle.
  • É bilinear: \langle a+b,c\rangle=\langle a,c\rangle+\langle b,c\rangle e \langle \lambda a,b\rangle=\lambda\langle a,b\rangle.
    Uma identidade muito prática que vem disso é, para quaisquer vetores u e v,
\langle u+v,\,u-v\rangle=\langle u,u\rangle-\langle v,v\rangle.
Essa identidade se obtém expandindo pela bilinearidade:
\langle u+v,\,u-v\rangle=\langle u,u\rangle-\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle-\langle v,v\rangle=\langle u,u\rangle-\langle v,v\rangle,
já que \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle.

Passo 3

Vou calcular as somas e diferenças dos vetores componente a componente (passo necessário para aplicar definição ou identidade).
Calculando v_{1}+v_{2}:
v_{1}+v_{2}=(1+(-1),\;-2+0,\;2+3)=(0,-2,5).

Passo 4

Calculando v_{1}-v_{2}:
v_{1}-v_{2}=(1-(-1),\;-2-0,\;2-3)=(2,-2,-1).

Passo 5

Agora uso a definição direta do produto escalar para \langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}-v_{2}\rangle. Com as componentes que achamos:
\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}-v_{2}\rangle = 0\cdot 2 + (-2)\cdot(-2) + 5\cdot(-1).
Desenvolvendo:
0\cdot 2 = 0,\qquad (-2)\cdot(-2)=4,\qquad 5\cdot(-1)=-5,
portanto
\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}-v_{2}\rangle = 0 + 4 - 5 = -1.

Passo 6

Como o enunciado pede o valor absoluto desse número, calculo:
\left|\langle v_{1}+v_{2},\,v_{1}-v_{2}\rangle\right| = |-1| = 1.

Resposta

1

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