Sejam
e
vetores em
. Determine:
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o problema dá e o que pede. O enunciado fornece dois vetores em
:
O que se pede é o valor absoluto do produto interno (produto escalar) entre
e
, isto é:
Passo 2
Vou explicar a ferramenta principal: o produto interno em
. Dados
e
, o produto interno (ou produto escalar) é definido por
Propriedades úteis (sem provar rigorosamente, só para usar na prática):
- É simétrico:
. - É bilinear:
e .
Uma identidade muito prática que vem disso é, para quaisquer vetorese ,
Essa identidade se obtém expandindo pela bilinearidade:
já que
.
Passo 3
Vou calcular as somas e diferenças dos vetores componente a componente (passo necessário para aplicar definição ou identidade).
Calculando :
Calculando
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora uso a definição direta do produto escalar para
. Com as componentes que achamos:
Desenvolvendo:
portanto
Passo 6
Como o enunciado pede o valor absoluto desse número, calculo: