Sejam v_{1}, v_{2}, v_{3} vetores não nulos \mathrm{cm} \mathbb{R}^{3} tais que \left\{v_{1}, v_{2}\right\} é um conjunto L.I e \left\langle v_{1}, v_{3}\right\rangle=0,\left\langle v_{2}, v_{3}\right\rangle=0. Mostre que os vetores v_{1}, v_{2}, v_{3} são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado dá três vetores não nulos em \mathbb R^3: \{v_1,v_2\} é linearmente independente e v_3 é ortogonal a ambos, ou seja, \langle v_1,v_3\rangle=0 e \langle v_2,v_3\rangle=0.
O objetivo é mostrar que v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes, usando definição de independência linear e propriedades do produto interno.

Passo 2

Suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,v_1+\beta\,v_2+\gamma\,v_3=0.
Para provar independência linear, basta mostrar que \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 3

Fazendo o produto interno da combinação acima com v_1 e usando \langle v_1,v_3\rangle=0, obtemos
\alpha\langle v_1,v_1\rangle+\beta\langle v_2,v_1\rangle=0.
De modo análogo, tomando produto interno com v_2 e usando \langle v_2,v_3\rangle=0, resulta
\alpha\langle v_1,v_2\rangle+\beta\langle v_2,v_2\rangle=0.

Passo 4

As duas equações de \alpha e \beta formam o sistema matricial
\begin{pmatrix} \langle v_1,v_1\rangle & \langle v_2,v_1\rangle\\[6pt] \langle v_1,v_2\rangle & \langle v_2,v_2\rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\[3pt]\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]0\end{pmatrix}.
Essa é a matriz de Gram de v_1,v_2, que é definida positiva por eles serem linearmente independentes. Logo, seu determinante é não-nulo e a única solução é \alpha=\beta=0.]

Passo 5

Voltando à combinação original, com \alpha=\beta=0 temos
\gamma\,v_3=0.
Como v_3\neq0, isso implica \gamma=0.

Resposta

Os únicos escalares que satisfazem \alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0 são \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto, v_1,v_2,v_3 são linearmente independentes.

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