Sejam
vetores não nulos
tais que
é um conjunto L.I e
. Mostre que os vetores
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado dá três vetores não nulos em
:
é linearmente independente e
é ortogonal a ambos, ou seja,
e
.
O objetivo é mostrar que são linearmente independentes, usando definição de independência linear e propriedades do produto interno.
O objetivo é mostrar que
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Para provar independência linear, basta mostrar que
.
Passo 3
Fazendo o produto interno da combinação acima com
e usando
, obtemos
De modo análogo, tomando produto interno com
e usando
, resulta
Passo 4
As duas equações de
e
formam o sistema matricial
Essa é a matriz de Gram de
, que é definida positiva por eles serem linearmente independentes. Logo, seu determinante é não-nulo e a única solução é
.]
Passo 5
Voltando à combinação original, com
temos
Como
, isso implica
.
Resposta
Os únicos escalares que satisfazem
são
. Portanto,
são linearmente independentes.