Verifique se o conjunto abaixo é uma base de M(2 \times 2),
\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{ll} 1 & 3 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \quad\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 3 & 1 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes em M(2\times2):
A_1=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix},\quad A_2=\begin{pmatrix}0&-1\\\ -1&0\end{pmatrix},\quad A_3=\begin{pmatrix}1&3\\\ 0&0\end{pmatrix},\quad A_4=\begin{pmatrix}0&0\\\ 3&1\end{pmatrix}.
Como \dim M(2\times2)=4, esse conjunto é base se, e somente se, for linearmente independente. Para testar isso, vamos verificar se a combinação linear
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 + c_4A_4 = 0
implica c_1=c_2=c_3=c_4=0.

Passo 2

Escrevendo a combinação na forma de entradas, obtemos a matriz nula equivalente ao sistema
c_1 + c_3 = 0,\tag{1}
-\,c_2 + 3c_3 = 0,\tag{2}
-\,c_2 + 3c_4 = 0,\tag{3}
c_1 + c_4 = 0.\tag{4}

Passo 3

Resolvendo o sistema:
– Da equação (1) vem c_1=-c_3.
– Da equação (4) vem c_4=-c_1= -(-c_3)=c_3.
– Da equação (2) vem c_2=3c_3.
– A equação (3) c_2=3c_4=3c_3, que é consistente.
Portanto
c_1=-c_3,\quad c_2=3c_3,\quad c_4=c_3,
com c_3 livre. Isso mostra existência de solução não trivial.

Passo 4

Como há solução não trivial para a combinação linear que dá zero, as matrizes são linearmente dependentes e, logo, não formam uma base de M(2\times2).

Resposta

O conjunto não é base de M(2\times2), pois é linearmente dependente.

Exercícios relacionados