Como \dim M(2\times2)=4, esse conjunto é base se, e somente se, for linearmente independente. Para testar isso, vamos verificar se a combinação linear
c_1A_1 + c_2A_2 + c_3A_3 + c_4A_4 = 0
implica c_1=c_2=c_3=c_4=0.
Passo 2
Escrevendo a combinação na forma de entradas, obtemos a matriz nula equivalente ao sistema
c_1 + c_3 = 0,\tag{1}
-\,c_2 + 3c_3 = 0,\tag{2}
-\,c_2 + 3c_4 = 0,\tag{3}
c_1 + c_4 = 0.\tag{4}
Passo 3
Resolvendo o sistema:
– Da equação (1) vem c_1=-c_3.
– Da equação (4) vem c_4=-c_1= -(-c_3)=c_3.
– Da equação (2) vem c_2=3c_3.
– A equação (3) dá c_2=3c_4=3c_3, que é consistente.
Portanto
c_1=-c_3,\quad c_2=3c_3,\quad c_4=c_3,
com c_3 livre. Isso mostra existência de solução não trivial.
Passo 4
Como há solução não trivial para a combinação linear que dá zero, as matrizes são linearmente dependentes e, logo, não formam uma base de M(2\times2).
Resposta
O conjunto não é base de M(2\times2), pois é linearmente dependente.