Sejam \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,1,1). Determine todos os vetores \vec{x} tais que:
\vec{x} \cdot \vec{a}=0 \quad \text { e } \quad \vec{x} \cdot \vec{b}=0
Interprete geometricamente o conjunto solução.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{a}=(1,2,3) e \vec{b}=(2,1,1) e pede todos os vetores \vec{x} tais que:
\vec{x}\cdot\vec{a}=0\quad\text{e}\quad\vec{x}\cdot\vec{b}=0.
Informações relevantes que temos:
  • \vec{x} é um vetor em \mathbb{R}^3. Vou escrevê-lo como \vec{x}=(x_1,x_2,x_3).
  • As duas condições são dois produtos escalares iguais a zero, cada um é uma equação linear em x_1,x_2,x_3.
    O objetivo é encontrar todas as soluções \vec{x} (a família de vetores) e interpretar geometricamente esse conjunto solução.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é produto escalar e como traduzir as condições em equações:
  • Definição: para \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), o produto escalar é \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
    Aplicando isso às condições com \vec{x}=(x_1,x_2,x_3):
\vec{x}\cdot\vec{a}=x_1\cdot1 + x_2\cdot2 + x_3\cdot3 = 0,
\vec{x}\cdot\vec{b}=x_1\cdot2 + x_2\cdot1 + x_3\cdot1 = 0.
Portanto obtemos o sistema linear:
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0,\\[4pt] 2x_1 + x_2 + x_3 = 0. \end{cases}]

Passo 3

Vamos resolver esse sistema por substituição (passo a passo, sem pular contas).
Da segunda equação isolamos x_2:
2x_1 + x_2 + x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -2x_1 - x_3.
Substituímos essa expressão para x_2 na primeira equação:
x_1 + 2(-2x_1 - x_3) + 3x_3 = 0.
Agora desenvolvendo:
x_1 -4x_1 -2x_3 + 3x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3x_1 + x_3 = 0.
Assim obtemos
x_3 = 3x_1.
Voltando para x_2 = -2x_1 - x_3 e substituindo x_3:
x_2 = -2x_1 - 3x_1 = -5x_1.

Passo 4

Agora escrevemos o vetor \vec{x} em função de um parâmetro livre. Tomando t=x_1 como parâmetro real:
\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)=\bigl(t,\,-5t,\,3t\bigr)=t(1,-5,3),\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso significa que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor (1,-5,3).

Passo 5

Uma verificação rápida: o vetor (1,-5,3) realmente é ortogonal a \vec{a} e \vec{b}?
(1,-5,3)\cdot(1,2,3)=1-10+9=0,
(1,-5,3)\cdot(2,1,1)=2-5+3=0.
Confirmado. Observação alternativa (útil na prova): o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} dá um vetor perpendicular a ambos; calculando
\vec{a}\times\vec{b}=(-1,5,-3),
que é simplesmente -1 vezes (1,-5,3). Então ambas as formas geram a mesma direção.

Passo 6

Interpretação geométrica (com calma e sem complicar): cada condição \vec{x}\cdot\vec{a}=0 e \vec{x}\cdot\vec{b}=0 descreve um plano que passa pela origem (porque são equações lineares homogêneas). A interseção de dois planos distintos que passam pela origem, quando os planos não coincidem, é uma reta que também passa pela origem. Aqui \vec{a} e \vec{b} não são múltiplos um do outro, logo os planos são diferentes e a interseção é exatamente a reta gerada pelo vetor (1,-5,3). Em termos dimensionais: duas restrições independentes em \mathbb{R}^3 reduzem a dimensão do espaço solução de 3 para 1, isto é, uma linha.

Resposta

\vec{x}=t(1,-5,3),\\ t\in\mathbb{R}

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