Sejam
e
. Determine todos os vetores
tais que:
Interprete geometricamente o conjunto solução.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede todos os vetores
tais que:
Informações relevantes que temos:
-
é um vetor em . Vou escrevê-lo como . - As duas condições são dois produtos escalares iguais a zero, cada um é uma equação linear em
.
O objetivo é encontrar todas as soluções(a família de vetores) e interpretar geometricamente esse conjunto solução.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é produto escalar e como traduzir as condições em equações:
- Definição: para
e , o produto escalar é .
Aplicando isso às condições com:
Portanto obtemos o sistema linear:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema por substituição (passo a passo, sem pular contas).
Da segunda equação isolamos :
Da segunda equação isolamos
Substituímos essa expressão para
na primeira equação:
Agora desenvolvendo:
Assim obtemos
Voltando para
e substituindo
:
Passo 4
Agora escrevemos o vetor
em função de um parâmetro livre. Tomando
como parâmetro real:
Isso significa que todas as soluções são múltiplos escalares do vetor
.
Passo 5
Uma verificação rápida: o vetor
realmente é ortogonal a
e
?
Confirmado. Observação alternativa (útil na prova): o produto vetorial
dá um vetor perpendicular a ambos; calculando
que é simplesmente
vezes
. Então ambas as formas geram a mesma direção.
Passo 6
Interpretação geométrica (com calma e sem complicar): cada condição
e
descreve um plano que passa pela origem (porque são equações lineares homogêneas). A interseção de dois planos distintos que passam pela origem, quando os planos não coincidem, é uma reta que também passa pela origem. Aqui
e
não são múltiplos um do outro, logo os planos são diferentes e a interseção é exatamente a reta gerada pelo vetor
. Em termos dimensionais: duas restrições independentes em
reduzem a dimensão do espaço solução de 3 para 1, isto é, uma linha.