Uma força \vec{F}=(5,2,0) atua sobre um corpo que sofre deslocamento \vec{d}=(3,-1,4). Determine o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o trabalho realizado por uma força durante um deslocamento. As informações fornecidas são (peguei diretamente do enunciado):
  • Vetor força: \vec{F}=(5,2,0).
  • Vetor deslocamento: \vec{d}=(3,-1,4).
    A pergunta é: qual é o valor do trabalho realizado por \vec{F} ao longo de \vec{d}?

Passo 2

Conceito que vamos usar: o trabalho realizado por uma força constante quando um ponto material sofre um deslocamento é dado pelo produto escalar (produto interno) entre os vetores força e deslocamento. Escrevendo em fórmula:
W = \vec{F}\cdot\vec{d}.
Aqui:
  • W é o trabalho (se \vec{F} estiver em newtons e \vec{d} em metros, W ficará em joules).
  • \vec{F} é o vetor força.
  • \vec{d} é o vetor deslocamento.
    Agora preciso te explicar o que é produto escalar de forma bem direta e prática.

Passo 3

Definição prática do produto escalar em coordenadas cartesianas: se
\vec{F}=(F_x,F_y,F_z)\quad\text{e}\quad \vec{d}=(d_x,d_y,d_z),
então
\vec{F}\cdot\vec{d}=F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z.
Cada termo é o produto das componentes correspondentes. Isso tem um significado geométrico (relacionado à projeção de um vetor no outro), mas na prova a forma componente-a-componente é a mais direta para calcular.

Passo 4

Aplicando a fórmula aos vetores do enunciado:
W=\vec{F}\cdot\vec{d}=F_x d_x + F_y d_y + F_z d_z.
Substituindo F_x=5, F_y=2, F_z=0 e d_x=3, d_y=-1, d_z=4:
W = 5\cdot 3 + 2\cdot(-1) + 0\cdot 4.

Passo 5

Calculemos cada termo passo a passo:
5\cdot 3 = 15,
2\cdot(-1) = -2,
0\cdot 4 = 0.
Somando:
W = 15 + (-2) + 0 = 13.

Passo 6

Interpretação e unidade: o trabalho obtido é 13. Se as componentes de \vec{F} estiverem em newtons e as de \vec{d} em metros (o padrão), então o trabalho é 13 joules. Bom trabalho — a conta foi simples porque a componente z da força é zero, então apenas x e y contribuíram.

Resposta

\,13\\ \text{J}

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