Sejam
e
. Encontre
.
Passo 1
O enunciado dá duas campos vetoriais (funções vetoriais) e pede para encontrar
. Os dados são:
-
. -
.
A pergunta explícita é: calcular
.
Passo 2
Interpreto aqui
como o operador de projeção ortogonal na direção de
(ou seja, projeção de
sobre o subespaço gerado por
). A fórmula da projeção ortogonal de um vetor
sobre um vetor
é
onde
é o produto escalar e
é o quadrado da norma de
.
Aqui
e
.
Passo 3
Calculo o produto escalar entre a projeção e
:
Portanto,
reduz-se simplesmente a
. Em palavras: projetar
sobre
e em seguida fazer produto escalar com
devolve o produto escalar original
.
Passo 4
Lembrando a definição do produto escalar em coordenadas: para
e
vale
Aplicamos isso a
e
. Identificando componentes:
-
. -
(observe que a componente em de é zero).
Passo 5
Agora calculo termo a termo:
O terceiro produto é zero porque a terceira componente de
é zero. Fatorando
nos dois primeiros termos:
Passo 6
Como vimos no Passo 3,
. Assim o resultado final é a expressão encontrada acima.