Sejam \vec{F}(x, y, z)=\sin x \vec{i}+\cos y \vec{j}+\ln z \vec{k} e \vec{G}(x, y, z)=e^{x} \cos y \vec{i}+e^{x} \sin y \vec{j}. Encontre
\pi \vec{F} \cdot \vec{G}.

Passo 1

O enunciado dá duas campos vetoriais (funções vetoriais) e pede para encontrar \pi \vec{F}\cdot\vec{G}. Os dados são:
  • \vec{F}(x,y,z)=\sin x\,\vec{i}+\cos y\,\vec{j}+\ln z\,\vec{k}.
  • \vec{G}(x,y,z)=e^{x}\cos y\,\vec{i}+e^{x}\sin y\,\vec{j}.
A pergunta explícita é: calcular \pi \vec{F}\cdot\vec{G}.

Passo 2

Interpreto aqui \pi como o operador de projeção ortogonal na direção de \vec{G} (ou seja, projeção de \vec{F} sobre o subespaço gerado por \vec{G}). A fórmula da projeção ortogonal de um vetor \vec{u} sobre um vetor \vec{v} é
\pi_{\vec{v}}(\vec{u})=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{v}\|^{2}}\,\vec{v},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar e \|\vec{v}\|^{2}=\vec{v}\cdot\vec{v} é o quadrado da norma de \vec{v}.
Aqui \vec{u}=\vec{F} e \vec{v}=\vec{G}.

Passo 3

Calculo o produto escalar entre a projeção e \vec{G}:
\pi_{\vec{G}}(\vec{F})\cdot\vec{G} =\left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{G}}{\|\vec{G}\|^{2}}\,\vec{G}\right)\cdot\vec{G} =\frac{\vec{F}\cdot\vec{G}}{\|\vec{G}\|^{2}}\,(\vec{G}\cdot\vec{G}) =\vec{F}\cdot\vec{G}.
Portanto, \pi\vec{F}\cdot\vec{G} reduz-se simplesmente a \vec{F}\cdot\vec{G}. Em palavras: projetar \vec{F} sobre \vec{G} e em seguida fazer produto escalar com \vec{G} devolve o produto escalar original \vec{F}\cdot\vec{G}.

Passo 4

Lembrando a definição do produto escalar em coordenadas: para \vec{A}=(A_1,A_2,A_3) e \vec{B}=(B_1,B_2,B_3) vale
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_1B_1+A_2B_2+A_3B_3.
Aplicamos isso a \vec{F} e \vec{G}. Identificando componentes:
  • \vec{F}=(\sin x,\;\cos y,\;\ln z).
  • \vec{G}=(e^{x}\cos y,\;e^{x}\sin y,\;0) (observe que a componente em \vec{k} de \vec{G} é zero).

Passo 5

Agora calculo termo a termo:
\vec{F}\cdot\vec{G} =(\sin x)(e^{x}\cos y)+(\cos y)(e^{x}\sin y)+(\ln z)(0).
O terceiro produto é zero porque a terceira componente de \vec{G} é zero. Fatorando e^{x}\cos y nos dois primeiros termos:
\vec{F}\cdot\vec{G} = e^{x}\cos y\bigl(\sin x+\sin y\bigr).

Passo 6

Como vimos no Passo 3, \pi\vec{F}\cdot\vec{G}=\vec{F}\cdot\vec{G}. Assim o resultado final é a expressão encontrada acima.

Resposta

e^{x}\cos y\bigl(\sin x+\sin y\bigr)

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