Sejam \vec{F}(x, y, z)=\sin x \vec{i}+\cos y \vec{j}+\ln z \vec{k} e \vec{G}(x, y, z)=e^{x} \cos y \vec{i}+e^{x} \sin y \vec{j}. Encontre
3 \vec{F}+\vec{G}.

Passo 1

O enunciado dá os campos vetoriais (peguei as expressões do enunciado):
\vec{F}(x,y,z)=\sin x\,\vec{i}+\cos y\,\vec{j}+\ln z\,\vec{k}
\vec{G}(x,y,z)=e^{x}\cos y\,\vec{i}+e^{x}\sin y\,\vec{j}
A tarefa é encontrar 3\vec{F}+\vec{G}.

Passo 2

Vamos lembrar as regras básicas que vamos usar (explicação didática):
  • Multiplicação escalar por vetor: se \vec{V}=(V_1,V_2,V_3) e a é um escalar, então a\vec{V}=(aV_1,aV_2,aV_3). Ou em notação de base: a(V_1\vec{i}+V_2\vec{j}+V_3\vec{k})=(aV_1)\vec{i}+(aV_2)\vec{j}+(aV_3)\vec{k}.
  • Soma de vetores: se \vec{U}=(U_1,U_2,U_3) e \vec{V}=(V_1,V_2,V_3), então \vec{U}+\vec{V}=(U_1+V_1,U_2+V_2,U_3+V_3); ou seja, soma componente a componente.
Aplicando essas regras componente a componente é a forma mais direta e segura de fazer na prova.

Passo 3

Calcular 3\vec{F} aplicando multiplicação escalar componente a componente:
3\vec{F}(x,y,z)=3\sin x\,\vec{i}+3\cos y\,\vec{j}+3\ln z\,\vec{k}.

Passo 4

Escrever \vec{G} com todas as três componentes explícitas (a componente \vec{k} é zero):
\vec{G}(x,y,z)=e^{x}\cos y\,\vec{i}+e^{x}\sin y\,\vec{j}+0\cdot\vec{k}.

Passo 5

Somar componente a componente 3\vec{F}+\vec{G}:
  • Componente \vec{i}: 3\sin x + e^{x}\cos y.
  • Componente \vec{j}: 3\cos y + e^{x}\sin y.
  • Componente \vec{k}: 3\ln z + 0 = 3\ln z.
Também observe que a componente \ln z exige z>0, portanto o campo resultante está definido para z>0.

Resposta

3\vec{F}+\vec{G}=\bigl(3\sin x+e^{x}\cos y\bigr)\vec{i}+\bigl(3\cos y+e^{x}\sin y\bigr)\vec{j}+\bigl(3\ln z\bigr)\vec{k}

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