Sejam \vec{F}(x, y, z)=e^{x} \cos z \vec{i}+e^{x} \sin z \vec{j}+\vec{k}, \vec{G}(x, y, z)=e^{x} \cos z \vec{i}+e^{x} \sin z \vec{j}-e^{2 x} \vec{k} e \vec{H}(x, y, z)=z \vec{k}. Assinale verdadeiro ou falso, justificando corretamente sua escola.
(a) \vec{F} e \vec{G} são ortogonais para todo (x, y, z).
(b) O campo vetorial \vec{F} \times \vec{G} é paralelo ao plano x y.
(c) Existe um ponto no qual \vec{F} é múltiplo de \vec{G}
(d) \vec{F} é irrotacional.
(e) \vec{G} é conservativo ou \vec{H} é conservativo.
(f) \vec{F}-\vec{G} é conservativo.

Passo 1

O enunciado dá três campos vetoriais definidos para todo \mathbb{R}^{3}:
\vec{F}(x,y,z)=e^{x}\cos z\,\vec{i}+e^{x}\sin z\,\vec{j}+\vec{k}, \qquad \vec{G}(x,y,z)=e^{x}\cos z\,\vec{i}+e^{x}\sin z\,\vec{j}-e^{2x}\,\vec{k}, \qquad \vec{H}(x,y,z)=z\,\vec{k}.
As questões pedem que eu assinale verdadeiro ou falso, justificando, para as afirmações:
(a) \vec{F} e \vec{G} são ortogonais para todo (x,y,z).
(b) O campo vetorial \vec{F}\times\vec{G} é paralelo ao plano xy.
(c) Existe um ponto no qual \vec{F} é múltiplo de \vec{G}.
(d) \vec{F} é irrotacional.
(e) \vec{G} é conservativo ou \vec{H} é conservativo.
(f) \vec{F}-\vec{G} é conservativo.

Passo 2

(a) Para verificar ortogonalidade uso o produto escalar (dot product). Lembrete: para dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) vale
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
Se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 então os vetores são ortogonais. Aqui \vec{F}=(A,B,1) e \vec{G}=(A,B,-e^{2x}) com A=e^{x}\cos z e B=e^{x}\sin z. Calculo
\vec{F}\cdot\vec{G}=A\cdot A + B\cdot B + 1\cdot(-e^{2x})=A^{2}+B^{2}-e^{2x}.
Como A^{2}+B^{2}=(e^{x}\cos z)^{2}+(e^{x}\sin z)^{2}=e^{2x}(\cos^{2}z+\sin^{2}z)=e^{2x}, segue
\vec{F}\cdot\vec{G}=e^{2x}-e^{2x}=0.
Conclusão: \vec{F} e \vec{G} são ortogonais para todo (x,y,z). (a) é verdadeiro.

Passo 3

(b) Um vetor é paralelo ao plano xy quando sua componente na direção \vec{k} (componente z) é zero. Vou calcular o produto vetorial \vec{F}\times\vec{G}. Fórmula componente a componente (para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) e \vec{G}=(G_x,G_y,G_z)):
\vec{F}\times\vec{G}=\big(F_yG_z-F_zG_y,\;F_zG_x-F_xG_z,\;F_xG_y-F_yG_x\big).
Com F_x=G_x=A, F_y=G_y=B, F_z=1, G_z=-e^{2x} obtemos:
(\vec{F}\times\vec{G})_x = B\cdot(-e^{2x}) - 1\cdot B = -B(e^{2x}+1),
(\vec{F}\times\vec{G})_y = 1\cdot A - A\cdot(-e^{2x}) = A(1+e^{2x}),
(\vec{F}\times\vec{G})_z = A\cdot B - B\cdot A = 0.
A componente na direção \vec{k} é zero sempre, logo \vec{F}\times\vec{G} não tem componente z e está contido no plano xy (ou é paralelo a ele). Conclusão: (b) é verdadeiro.

Passo 4

(c) Pergunta se existe ponto onde \vec{F} é múltiplo escalar de \vec{G}; isto é, existe (x,y,z) e \lambda\in\mathbb{R} tais que \vec{F}=\lambda\vec{G}. Escrevendo componentes:
e^{x}\cos z = \lambda e^{x}\cos z,\qquad e^{x}\sin z = \lambda e^{x}\sin z,\qquad 1 = \lambda(-e^{2x}).
Analiso casos.
Caso 1: e^{x}\cos z\neq 0 (ou seja \cos z\neq 0). Da primeira equação segue \lambda=1. Pela terceira equação isso daria 1=-e^{2x}, impossível porque e^{2x}>0. Logo nenhum ponto com \cos z\neq0 funciona.
Caso 2: e^{x}\cos z=0. Como e^{x}>0 para todo x, isso significa \cos z=0. Então \sin z=\pm1 e e^{x}\sin z\neq0. Da segunda equação (com e^{x}\sin z\neq0) vem \lambda=1. De novo a terceira exige 1=-e^{2x}, impossível.
Não existe \lambda que satisfaça as três equações em nenhum ponto. Conclusão: (c) é falso.

Passo 5

(d) Definição: um campo vetorial é irrotacional quando o rotor (curl) é o vetor nulo em todos os pontos. O rotor de \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é
\nabla\times\vec{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big).
Para \vec{F} com F_x=e^{x}\cos z, F_y=e^{x}\sin z, F_z=1:
(\nabla\times\vec{F})_x = \frac{\partial}{\partial y}(1)-\frac{\partial}{\partial z}(e^{x}\sin z)=0 - e^{x}\cos z = -e^{x}\cos z,
(\nabla\times\vec{F})_y = \frac{\partial}{\partial z}(e^{x}\cos z)-\frac{\partial}{\partial x}(1) = -e^{x}\sin z - 0 = -e^{x}\sin z,
(\nabla\times\vec{F})_z = \frac{\partial}{\partial x}(e^{x}\sin z)-\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}\cos z) = e^{x}\sin z - 0 = e^{x}\sin z.
O rotor não é o vetor zero (por exemplo a componente x ou y geralmente é não nula), então \vec{F} não é irrotacional. Conclusão: (d) é falso.

Passo 6

(e) Aqui a afirmação é uma disjunção: " \vec{G} é conservativo ou \vec{H} é conservativo." Para campos definidos em todo \mathbb{R}^{3} (domínio simplesmente conexo) uma condição prática é: se \nabla\times\vec{V}=\vec{0} então \vec{V} é conservativo (tem potencial). Vou calcular os rotors.
Para \vec{G}=(e^{x}\cos z,e^{x}\sin z,-e^{2x}) já computei estrutura similar; as componentes do rotor são:
(\nabla\times\vec{G})_x = -e^{x}\cos z,
(\nabla\times\vec{G})_y = -e^{x}\sin z + 2e^{2x},
(\nabla\times\vec{G})_z = e^{x}\sin z.
Isto não é o vetor nulo (por exemplo a componente x é -e^{x}\cos z), logo \vec{G} não é conservativo.
Para \vec{H}=(0,0,z) calcule:
(\nabla\times\vec{H})_x = \frac{\partial}{\partial y}(z)-\frac{\partial}{\partial z}(0)=0,
(\nabla\times\vec{H})_y = \frac{\partial}{\partial z}(0)-\frac{\partial}{\partial x}(z)=0,
(\nabla\times\vec{H})_z = \frac{\partial}{\partial x}(0)-\frac{\partial}{\partial y}(0)=0,
portanto \nabla\times\vec{H}=\vec{0}. Como \vec{H} está definido em \mathbb{R}^{3} (simply connected), isso garante que \vec{H} é conservativo. Um potencial explícito é, por exemplo, \varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{2}z^{2} porque \nabla\varphi=(0,0,z)=\vec{H}.
Logo, mesmo que \vec{G} não seja conservativo, \vec{H} é, então a disjunção é verdadeira. Conclusão: (e) é verdadeiro.

Passo 7

(f) Calculo \vec{F}-\vec{G}:
\vec{F}-\vec{G}=(e^{x}\cos z - e^{x}\cos z,\; e^{x}\sin z - e^{x}\sin z,\; 1 - (-e^{2x})) =(0,0,1+e^{2x}).
Ou seja é um campo puramente na direção \vec{k} com componente h(x)=1+e^{2x} que depende de x. Para verificar se é conservativo, verifico o rotor. Para um campo (0,0,h(x)) vale
(\nabla\times(0,0,h))_y = -\frac{d}{dx}h(x).
Aqui \frac{d}{dx}h(x)=2e^{2x}\neq 0 em geral, então o rotor não é identicamente zero. Calculando diretamente:
(\nabla\times(\vec{F}-\vec{G}))_y = -\frac{\partial}{\partial x}(1+e^{2x})=-2e^{2x}\neq0.
Portanto \vec{F}-\vec{G} não é conservativo. Outra forma de ver: tentar achar potencial \varphi com \phi_z=1+e^{2x} leva a contradição ao comparar derivadas mistas (dependência de x inviabiliza as outras componentes). Conclusão: (f) é falso.

Resposta

(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso

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