Sejam
e
. Assinale verdadeiro ou falso, justificando corretamente sua escola.
(a)
e
são ortogonais para todo
.
(b) O campo vetorial
é paralelo ao plano
.
(c) Existe um ponto no qual
é múltiplo de
(d)
é irrotacional.
(e)
é conservativo ou
é conservativo.
(f)
é conservativo.
(a)
(b) O campo vetorial
(c) Existe um ponto no qual
(d)
(e)
(f)
Passo 1
O enunciado dá três campos vetoriais definidos para todo
:
As questões pedem que eu assinale verdadeiro ou falso, justificando, para as afirmações:
(a) e
são ortogonais para todo
.
(b) O campo vetorial é paralelo ao plano
.
(c) Existe um ponto no qual é múltiplo de
.
(d) é irrotacional.
(e) é conservativo ou
é conservativo.
(f) é conservativo.
(a)
(b) O campo vetorial
(c) Existe um ponto no qual
(d)
(e)
(f)
Passo 2
(a) Para verificar ortogonalidade uso o produto escalar (dot product). Lembrete: para dois vetores
e
vale
Se
então os vetores são ortogonais. Aqui
e
com
e
. Calculo
Como
, segue
Conclusão:
e
são ortogonais para todo
. (a) é verdadeiro.
Passo 3
(b) Um vetor é paralelo ao plano
quando sua componente na direção
(componente
) é zero. Vou calcular o produto vetorial
. Fórmula componente a componente (para
e
):
Com
,
,
,
obtemos:
A componente na direção
é zero sempre, logo
não tem componente
e está contido no plano
(ou é paralelo a ele). Conclusão: (b) é verdadeiro.
Passo 4
(c) Pergunta se existe ponto onde
é múltiplo escalar de
; isto é, existe
e
tais que
. Escrevendo componentes:
Analiso casos.
Caso 1:
(ou seja
). Da primeira equação segue
. Pela terceira equação isso daria
, impossível porque
. Logo nenhum ponto com
funciona.
Caso 2:
. Como
para todo
, isso significa
. Então
e
. Da segunda equação (com
) vem
. De novo a terceira exige
, impossível.
Não existe
que satisfaça as três equações em nenhum ponto. Conclusão: (c) é falso.
Passo 5
(d) Definição: um campo vetorial é irrotacional quando o rotor (curl) é o vetor nulo em todos os pontos. O rotor de
é
Para
com
,
,
:
O rotor não é o vetor zero (por exemplo a componente
ou
geralmente é não nula), então
não é irrotacional. Conclusão: (d) é falso.
Passo 6
(e) Aqui a afirmação é uma disjunção: "
é conservativo ou
é conservativo." Para campos definidos em todo
(domínio simplesmente conexo) uma condição prática é: se
então
é conservativo (tem potencial). Vou calcular os rotors.
Para
já computei estrutura similar; as componentes do rotor são:
Isto não é o vetor nulo (por exemplo a componente
é
), logo
não é conservativo.
Para
calcule:
portanto
. Como
está definido em
(simply connected), isso garante que
é conservativo. Um potencial explícito é, por exemplo,
porque
.
Logo, mesmo que
não seja conservativo,
é, então a disjunção é verdadeira. Conclusão: (e) é verdadeiro.
Passo 7
(f) Calculo
:
Ou seja é um campo puramente na direção
com componente
que depende de
. Para verificar se é conservativo, verifico o rotor. Para um campo
vale
Aqui
em geral, então o rotor não é identicamente zero. Calculando diretamente:
Portanto
não é conservativo. Outra forma de ver: tentar achar potencial
com
leva a contradição ao comparar derivadas mistas (dependência de
inviabiliza as outras componentes). Conclusão: (f) é falso.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso
(b) Verdadeiro
(c) Falso
(d) Falso
(e) Verdadeiro
(f) Falso