Sejam
vetores do plano. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados
em
, vale
O que vamos usar:
– definição do produto escalar em termos de ângulo,
– fato de que girar em
gera um vetor
perpendicular a
,
– definição de vetores paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
– definição do produto escalar em termos de ângulo,
– fato de que girar
– definição de vetores paralelos (um é múltiplo escalar do outro).
Passo 2
(⇒) Suponha
. Como
onde
é o ângulo entre
e
, e
, segue
, ou seja
. Logo
é ortogonal a
. Mas em
todo vetor ortogonal a
está na direção de
. Portanto
Passo 3
(⇐) Suponha
. Então existe
tal que
Como por construção
é perpendicular a
, temos
e daí
Resposta
Mostramos que
se e somente se
.