Sejam \vec{u}, \vec{v} \neq \overrightarrow{0} vetores do plano. Mostre que
\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=0 \quad \text { se e somente se } \quad \vec{u}^{\perp} \| \vec{v}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados \vec{u},\vec{v}\neq\vec{0} em \mathbb{R}^2, vale
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \vec{u}^{\perp}\parallel \vec{v}.
O que vamos usar:
– definição do produto escalar em termos de ângulo,
– fato de que girar \vec{u} em 90^\circ gera um vetor \vec{u}^\perp perpendicular a \vec{u},
– definição de vetores paralelos (um é múltiplo escalar do outro).

Passo 2

(⇒) Suponha \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0. Como
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle =|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}, e \vec{u},\vec{v}\neq\vec{0}, segue \cos\theta=0, ou seja \theta=90^\circ. Logo \vec{v} é ortogonal a \vec{u}. Mas em \mathbb{R}^2 todo vetor ortogonal a \vec{u} está na direção de \vec{u}^\perp. Portanto
\vec{v}\parallel \vec{u}^\perp.

Passo 3

(⇐) Suponha \vec{v}\parallel \vec{u}^\perp. Então existe \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que
\vec{v}=\lambda\,\vec{u}^\perp.
Como por construção \vec{u}^\perp é perpendicular a \vec{u}, temos
\langle\vec{u},\vec{u}^\perp\rangle=0,
e daí
\langle\vec{u},\vec{v}\rangle =\langle\vec{u},\lambda\,\vec{u}^\perp\rangle =\lambda\,\langle\vec{u},\vec{u}^\perp\rangle =\lambda\cdot 0 =0.

Resposta

Mostramos que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=0 se e somente se \vec{u}^{\perp}\parallel \vec{v}.

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