Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores do plano. Se \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=4,\|\vec{v}\|=3 e \|\vec{u}+\vec{v}\|=9, encontre \|\vec{u}\|.

Passo 1

O enunciado pede a norma de \vec{u}, sabendo que \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=4, \|\vec{v}\|=3 e \|\vec{u}+\vec{v}\|=9. O conteúdo aqui é a expansão do quadrado da norma de soma de vetores.

Passo 2

Usamos a identidade
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 \;=\;\|\vec{u}\|^2 \;+\;\|\vec{v}\|^2 \;+\;2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle.

Passo 3

Substituindo \|\vec{u}+\vec{v}\|=9, \|\vec{v}\|=3 e \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=4 na identidade, obtemos
9^2 \;=\;\|\vec{u}\|^2 + 3^2 + 2\cdot4 \quad\Longrightarrow\quad 81 = \|\vec{u}\|^2 + 9 + 8 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{u}\|^2 = 64.

Passo 4

Como norma é não negativa, \|\vec{u}\| = \sqrt{64} = 8.

Resposta

\|\vec{u}\| = 8

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