Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=150^{\circ}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Dados: |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3.
  • O ângulo entre os vetores é \theta=150^\circ.
  • Pedido: calcular o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v} para esse valor de \theta.

Passo 2

Vamos usar a fórmula padrão que relaciona produto escalar, módulos dos vetores e o ângulo entre eles:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta.
Explicando cada parte:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é um número real (escalar).
  • |\vec{u}| e |\vec{v}| são os comprimentos (módulos) dos vetores, sempre positivos.
  • \theta é o ângulo entre os vetores, aqui dado em graus.
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo; o sinal de \cos\theta indica se o produto escalar é positivo (ângulo agudo) ou negativo (ângulo obtuso).

Passo 3

Calcular \cos150^\circ. Usamos a identidade de ângulo suplementar:
\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha.
Tomando \alpha=30^\circ obtemos
\cos150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos30^\circ.
Recordando o valor conhecido do cosseno de 30^\circ (do triângulo 30–60–90, onde \cos30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}), então
\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Agora substituímos tudo na fórmula do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\,\cos\theta=(2)(3)\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Fazendo as contas passo a passo:
(2)(3)=6, \qquad 6\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3\sqrt{3}.

Resposta

-3\sqrt{3}

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