Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Dados:
e . - O ângulo entre os vetores é
. - Pedido: calcular o produto escalar
para esse valor de .
Passo 2
Vamos usar a fórmula padrão que relaciona produto escalar, módulos dos vetores e o ângulo entre eles:
Explicando cada parte:
-
é um número real (escalar). -
e são os comprimentos (módulos) dos vetores, sempre positivos. -
é o ângulo entre os vetores, aqui dado em graus. -
é o cosseno desse ângulo; o sinal de indica se o produto escalar é positivo (ângulo agudo) ou negativo (ângulo obtuso).
Passo 3
Calcular
. Usamos a identidade de ângulo suplementar:
Tomando
obtemos
Recordando o valor conhecido do cosseno de
(do triângulo 30–60–90, onde
), então
Passo 4
Agora substituímos tudo na fórmula do produto escalar:
Fazendo as contas passo a passo: