Sejam \vec{u} e \vec{v} vetores tais que |\vec{u}|=2 e |\vec{v}|=3. Para cada valor de \theta listado abaixo, onde \theta representa o ângulo formado entre os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
\theta=60^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar entre dois vetores quando o ângulo entre eles vale 60^\circ. As informações dadas são:
  • |\vec{u}| = 2.
  • |\vec{v}| = 3.
  • o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \theta = 60^\circ.
    A tarefa: encontrar \vec{u}\cdot\vec{v} para esse valor de \theta.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (definição geométrica do produto escalar):
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar (ou interno) entre \vec{u} e \vec{v}; o resultado é um número (escalar).
  • |\vec{u}| é o comprimento (módulo) do vetor \vec{u}.
  • |\vec{v}| é o comprimento (módulo) do vetor \vec{v}.
  • \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v}.
    Intuição rápida: \cos\theta mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro; o produto escalar é o produto de um comprimento pelo componente do outro na sua direção.

Passo 3

Avaliar \cos\theta para \theta=60^\circ. É um valor conhecido da trigonometria elementar:
\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2}.
(Recorde: em um triângulo equilátero dividido ao meio, o cosseno de 60^\circ vale 1/2; também pode lembrar da circunferência unitária.)

Passo 4

Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}|\;|\vec{v}|\cos\theta = (2)\cdot(3)\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right).
Calcule em etapas:
2\cdot 3 = 6, \qquad 6\cdot \tfrac{1}{2} = 3.

Passo 5

Interpretação curta: o produto escalar ficou positivo ( 3), o que faz sentido porque o ângulo de 60^\circ é agudo e, portanto, as projeções são positivas. Para referência, o máximo possível seria |\vec{u}||\vec{v}|=6 (quando os vetores são paralelos, \theta=0^\circ); aqui obtemos exatamente metade disso, pois \cos60^\circ=\tfrac{1}{2}. Força aí — é um cálculo direto que costuma cair na prova.

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=3

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