Sejam
e
vetores tais que
e
. Para cada valor de
listado abaixo, onde
representa o ângulo formado entre os vetores
e
, calcule o produto escalar
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o produto escalar entre dois vetores quando o ângulo entre eles vale
. As informações dadas são:
-
. -
. - o ângulo entre
e é .
A tarefa: encontrarpara esse valor de .
Passo 2
Fórmula que vamos usar (definição geométrica do produto escalar):
Explicando cada símbolo:
-
é o produto escalar (ou interno) entre e ; o resultado é um número (escalar). -
é o comprimento (módulo) do vetor . -
é o comprimento (módulo) do vetor . -
é o ângulo entre os vetores e .
Intuição rápida:mede quanto um vetor “projeta” sobre o outro; o produto escalar é o produto de um comprimento pelo componente do outro na sua direção.
Passo 3
Avaliar
para
. É um valor conhecido da trigonometria elementar:
(Recorde: em um triângulo equilátero dividido ao meio, o cosseno de
vale
; também pode lembrar da circunferência unitária.)
Passo 4
Substituir os valores na fórmula e calcular passo a passo:
Calcule em etapas:
Passo 5
Interpretação curta: o produto escalar ficou positivo (
), o que faz sentido porque o ângulo de
é agudo e, portanto, as projeções são positivas. Para referência, o máximo possível seria
(quando os vetores são paralelos,
); aqui obtemos exatamente metade disso, pois
. Força aí — é um cálculo direto que costuma cair na prova.