Sejam os vetores v_{1}=(1,3), v_{2}=(-1,4) e a matriz [T]_{B}=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right], onde B=\left\{v_{1}, v_{2}\right\}.
(a) Determine \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}.
(b) Encontre T\left(v_{1}\right) e T\left(v_{2}\right).

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Vetores da base B:
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.
  • A matriz de T relativa à base B:
[T]_{B}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-2 & 5\end{pmatrix}.
  • Perguntas:
    (a) Determine \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}. \n
    (b) Encontre T\left(v_{1}\right) e T\left(v_{2}\right).]

Passo 2

Entendendo o que a matriz [T]_{B} nos dá (explicação didática): quando uma transformação linear T é representada pela matriz [T]_{B} numa base B=\{v_{1},v_{2}\}, cada coluna dessa matriz é justamente as coordenadas de T(v_j) em relação à base B. Em palavras mais simples: a primeira coluna é \left[T(v_{1})\right]_{B} e a segunda coluna é \left[T(v_{2})\right]_{B}. Isso decorre da definição de matriz de uma aplicação linear numa base.
Aplicando isso diretamente à matriz dada, lemos as colunas:
[T(v_{1})]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad [T(v_{2})]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora vamos transformar essas coordenadas relativas à base B em vetores no sistema de coordenadas padrão (isto é, encontrar T(v_{1}) e T(v_{2}) como combinações lineares de v_{1} e v_{2}). Regra básica: se [w]_{B}=\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}, então
w = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Aqui usamos a e b como coordenadas na base B.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso de T(v_{1}): temos [T(v_{1})]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, portanto
T(v_{1}) = 1\cdot v_{1} + (-2)\cdot v_{2} = v_{1} - 2v_{2}.
Agora calculamos coordenada a coordenada usando v_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} e v_{2}=\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix}.

Passo 5

Cálculo explícito de T(v_{1}):
v_{1} - 2v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-2\\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - (-2)\\[4pt]3 - 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]-5\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora T(v_{2}): temos [T(v_{2})]_{B}=\begin{pmatrix}3\\\ 5\end{pmatrix}, então
T(v_{2}) = 3\,v_{1} + 5\,v_{2}.
Vamos calcular componente a componente usando os mesmos v_{1} e v_{2}.

Passo 7

Cálculo explícito de T(v_{2}):
3v_{1} + 5v_{2} = 3\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}-1\\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 9\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-5\\\ 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 + (-5)\\[4pt]9 + 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]29\end{pmatrix}.]

Resposta

(a) \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\quad \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}=\begin{pmatrix}3\\[4pt]5\end{pmatrix}
(b) T\left(v_{1}\right)=\begin{pmatrix}3\\[4pt]-5\end{pmatrix},\quad T\left(v_{2}\right)=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]29\end{pmatrix}]

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