Sejam os vetores v_{1}=(1,3), v_{2}=(-1,4) e a matriz [T]_{B}=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\\\ -2 & 5\end{array}\right], onde B=\left\{v_{1}, v_{2}\right\}.
(a) Determine \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}.
(b) Encontre T\left(v_{1}\right) e T\left(v_{2}\right).
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede duas coisas:
Perguntas:
(a) Determine \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} e \left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}. \n
(b) Encontre T\left(v_{1}\right) e T\left(v_{2}\right).]
Passo 2
Entendendo o que a matriz [T]_{B} nos dá (explicação didática): quando uma transformação linear T é representada pela matriz [T]_{B} numa base B=\{v_{1},v_{2}\}, cada coluna dessa matriz é justamente as coordenadas de T(v_j) em relação à base B. Em palavras mais simples: a primeira coluna é \left[T(v_{1})\right]_{B} e a segunda coluna é \left[T(v_{2})\right]_{B}. Isso decorre da definição de matriz de uma aplicação linear numa base.
Aplicando isso diretamente à matriz dada, lemos as colunas:
Agora vamos transformar essas coordenadas relativas à base B em vetores no sistema de coordenadas padrão (isto é, encontrar T(v_{1}) e T(v_{2}) como combinações lineares de v_{1} e v_{2}). Regra básica: se [w]_{B}=\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}, então
w = a\,v_{1} + b\,v_{2}.
Aqui usamos a e b como coordenadas na base B.
Passo 4
Aplicando a regra ao caso de T(v_{1}): temos [T(v_{1})]_{B}=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}, portanto