Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contraexemplo.
Seja A uma matriz 2 \times 2. Se A é semelhante a -A, então o único autovalor de A é zero.

Passo 1

Enunciado e dados: Seja A uma matriz 2\times2. Diz-se que A é semelhante a -A. A afirmação a decidir é: “Então o único autovalor de A é zero.”
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumento lógico ou contraexemplo.
Informações dadas explicitamente: A é 2\times2 e existe uma matriz invertível P tal que -A = P^{-1}AP (isto é, A é semelhante a -A).

Passo 2

Definição útil e consequência imediata: duas matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com multiplicidade. Vou usar isso para comparar os polinômios característicos de A e de -A.
Lembre que o polinômio característico de uma matriz 2\times2 é dado por
p_A(\lambda)=\det(\lambda I - A)=\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A,
onde \operatorname{tr}A é a soma dos elementos da diagonal (traço) e \det A é o determinante.

Passo 3

Calcular o polinômio característico de -A. Pela definição,
p_{-A}(\lambda)=\det(\lambda I - (-A))=\det(\lambda I + A).
Para 2\times2 isso expande para
p_{-A}(\lambda)=\lambda^{2}+(\operatorname{tr}A)\lambda+\det(-A).
Mas para 2\times2 temos \det(-A)=(-1)^{2}\det A=\det A. Logo
p_{-A}(\lambda)=\lambda^{2}+(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A.

Passo 4

Como A e -A são semelhantes, p_A(\lambda)=p_{-A}(\lambda) para todo \lambda. Comparando coeficientes dos polinômios obtidos em passos anteriores,
\lambda^{2}-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A \equiv \lambda^{2}+(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A.
Assim os coeficientes de \lambda devem ser iguais, o que dá
-(\operatorname{tr}A)=\operatorname{tr}A \quad\Rightarrow\quad 2\operatorname{tr}A=0 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tr}A=0.
Portanto a única conclusão forçada pela semelhança é \operatorname{tr}A=0. Isso significa que, se os autovalores de A são \lambda_{1} e \lambda_{2}, então \lambda_{1}+\lambda_{2}=0, ou seja, \lambda_{2}=-\lambda_{1}. Nada aqui exige que \lambda_{1}=0; pode ocorrer \lambda_{1}\neq0 e \lambda_{2}=-\lambda_{1}.

Passo 5

Construir um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmação é falsa. Tome
A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.
Os autovalores de A são 1 e -1 (portanto não são ambos zero). Calcule -A:
-A=\begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Considere a matriz permutação
P=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},
que satisfaz P^{-1}=P. Fazendo a conjugação,
P^{-1}AP = PAP = \begin{pmatrix}-1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = -A.
Logo A é semelhante a -A, mas seus autovalores são 1 e -1, não apenas 0. Isso é um contraexemplo que prova que a afirmação original é falsa.]

Resposta

Falso.

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