Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contraexemplo.
Seja
uma matriz
. Se
é semelhante a
, então o único autovalor de
é zero.
Seja
Passo 1
Enunciado e dados: Seja
uma matriz
. Diz-se que
é semelhante a
. A afirmação a decidir é: “Então o único autovalor de
é zero.”
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumento lógico ou contraexemplo.
Informações dadas explicitamente: é
e existe uma matriz invertível
tal que
(isto é,
é semelhante a
).
O que é pedido: decidir se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar com argumento lógico ou contraexemplo.
Informações dadas explicitamente:
Passo 2
Definição útil e consequência imediata: duas matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, portanto, os mesmos autovalores com multiplicidade. Vou usar isso para comparar os polinômios característicos de
e de
.
Lembre que o polinômio característico de uma matriz é dado por
Lembre que o polinômio característico de uma matriz
onde
é a soma dos elementos da diagonal (traço) e
é o determinante.
Passo 3
Calcular o polinômio característico de
. Pela definição,
Para
isso expande para
Mas para
temos
. Logo
Passo 4
Como
e
são semelhantes,
para todo
. Comparando coeficientes dos polinômios obtidos em passos anteriores,
Assim os coeficientes de
devem ser iguais, o que dá
Portanto a única conclusão forçada pela semelhança é
. Isso significa que, se os autovalores de
são
e
, então
, ou seja,
. Nada aqui exige que
; pode ocorrer
e
.
Passo 5
Construir um contraexemplo explícito para mostrar que a afirmação é falsa. Tome
Os autovalores de
são
e
(portanto não são ambos zero). Calcule
:
Considere a matriz permutação
que satisfaz
. Fazendo a conjugação,
Logo
é semelhante a
, mas seus autovalores são
e
, não apenas
. Isso é um contraexemplo que prova que a afirmação original é falsa.]
Resposta
Falso.