Sejam os vetores primitivos de uma rede FCC :
\mathbf{\mathbf { a } _ { 1 }}=\frac{a}{2}(0,1,1), \quad \mathbf{a}_{2}=\frac{a}{2}(1,0,1), \quad \mathbf{a}_{3}=\frac{a}{2}(1,1,0)
Mostre que a rede recíproca é uma rede BCC.

Passo 1

O enunciado dá os vetores primitivos da rede FCC:
\mathbf{a}_1=\frac{a}{2}(0,1,1),\qquad \mathbf{a}_2=\frac{a}{2}(1,0,1),\qquad \mathbf{a}_3=\frac{a}{2}(1,1,0).
O que se pede: mostrar que a rede recíproca (aquela gerada pelos vetores primitivos \mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3 tais que \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j=2\pi\delta_{ij}) é uma rede BCC. Em outras palavras: calcular explicitamente \mathbf{b}_i e reconhecer a forma de uma rede BCC (e seu parâmetro de rede).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (padrão para retículos cristalinos): os vetores recíprocos podem ser obtidos por
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)},\qquad \mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3)}.
Comentário didático rápido: \mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) é o volume do paralelepípedo formado por \mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2,\mathbf{a}_3; a fórmula garante \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j=2\pi\delta_{ij}.

Passo 3

Calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 e o volume V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3).
Escrevendo componentes:
\mathbf{a}_1=\Bigl(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\Bigr),\quad \mathbf{a}_2=\Bigl(\frac{a}{2},0,\frac{a}{2}\Bigr),\quad \mathbf{a}_3=\Bigl(\frac{a}{2},\frac{a}{2},0\Bigr).
Calculemos \mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 pelo determinante:
\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2} \\\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \end{vmatrix} = \Bigl(-\frac{a^2}{4},\; \frac{a^2}{4},\; \frac{a^2}{4}\Bigr).
Agora o volume
V=\mathbf{a}_1\cdot(\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3) = \Bigl(0,\frac{a}{2},\frac{a}{2}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\Bigr) =0+\frac{a}{2}\cdot\frac{a^2}{4}+\frac{a}{2}\cdot\frac{a^2}{4} =\frac{a^3}{4}.

Passo 4

Agora \mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_2\times\mathbf{a}_3}{V}. Substituindo:
\mathbf{b}_1 = 2\pi\frac{\bigl(-\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\bigr)}{\frac{a^3}{4}} =2\pi\Bigl(-\frac{1}{a},\frac{1}{a},\frac{1}{a}\Bigr) =\frac{2\pi}{a}(-1,1,1).

Passo 5

Calcule \mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1}{V}. Primeiro o produto vetorial:
\mathbf{a}_3\times\mathbf{a}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \\\\ 0 & \frac{a}{2} & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = \Bigl(\frac{a^2}{4},\; -\frac{a^2}{4},\; \frac{a^2}{4}\Bigr).
Logo
\mathbf{b}_2 = 2\pi\frac{\bigl(\frac{a^2}{4},-\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4}\bigr)}{\frac{a^3}{4}} = \frac{2\pi}{a}(1,-1,1).

Passo 6

Calcule \mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2}{V}. Primeiro
\mathbf{a}_1\times\mathbf{a}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 0 & \frac{a}{2} & \frac{a}{2} \\\ \frac{a}{2} & 0 & \frac{a}{2} \end{vmatrix} = \Bigl(\frac{a^2}{4},\; \frac{a^2}{4},\; -\frac{a^2}{4}\Bigr).
Assim
\mathbf{b}_3 = 2\pi\frac{\bigl(\frac{a^2}{4},\frac{a^2}{4},-\frac{a^2}{4}\bigr)}{\frac{a^3}{4}} = \frac{2\pi}{a}(1,1,-1).

Passo 7

Resumo dos vetores recíprocos obtidos:
\mathbf{b}_1=\frac{2\pi}{a}(-1,1,1),\qquad \mathbf{b}_2=\frac{2\pi}{a}(1,-1,1),\qquad \mathbf{b}_3=\frac{2\pi}{a}(1,1,-1).
Agora reconhecemos a forma padrão dos vetores primitivos de uma rede BCC: uma escolha usual de vetores primitivos para uma BCC de parâmetro a^* é
\frac{a^*}{2}(1,1,-1),\qquad \frac{a^*}{2}(1,-1,1),\qquad \frac{a^*}{2}(-1,1,1).
Comparando com os \mathbf{b}_i vemos que eles coincidem se tomarmos
\frac{a^*}{2}=\frac{2\pi}{a}\quad\Rightarrow\quad a^*=\frac{4\pi}{a}.
Portanto os \mathbf{b}_i geram exatamente uma rede BCC cujo parâmetro de rede convencional vale a^*=4\pi/a.
Como verificação extra (didática), pode-se checar que \mathbf{b}_i\cdot\mathbf{a}_j=2\pi\delta_{ij}; por exemplo
\mathbf{b}_1\cdot\mathbf{a}_1=\frac{2\pi}{a}(-1,1,1)\cdot\frac{a}{2}(0,1,1)=\frac{2\pi}{a}\cdot\frac{a}{2}(0+1+1)=2\pi,
e para i\neq j o produto dá zero — isto garante que os \mathbf{b}_i são corretos.

Passo 8

Conclusão: os vetores primitivos recíprocos calculados têm exatamente a forma de vetores primitivos de uma rede BCC (com parâmetro a^*=4\pi/a). Logo a rede recíproca da FCC dada é uma rede BCC.

Resposta

A rede recíproca é uma rede BCC. Vetores primitivos recíprocos:
\mathbf{b}_1=\dfrac{2\pi}{a}(-1,1,1), \mathbf{b}_2=\dfrac{2\pi}{a}(1,-1,1), \mathbf{b}_3=\dfrac{2\pi}{a}(1,1,-1). O parâmetro cúbico convencional da BCC recíproca é a^*=\dfrac{4\pi}{a}.

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