Sejam X e Y conjuntos. Usando o axioma da regularidade, mostre que não podemos ter X=\{Y\} e Y=\{X\}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem conjuntos X e Y tais que
X = \{Y\} \quad\text{e}\quad Y = \{X\}.
Vamos usar o Axioma da Regularidade, que afirma: para todo conjunto não vazio S existe um elemento m\in S tal que
m \cap S = \varnothing.

Passo 2

Façamos uma prova por redução ao absurdo. Suponha que existam X e Y satisfazendo
X = \{Y\} \quad\text{e}\quad Y = \{X\}.
Defina então o conjunto
S = \{\,X,\,Y\}.
Claro que S é não vazio.

Passo 3

Pelo Axioma da Regularidade aplicado a S, existe algum m \in S tal que
m \cap S = \varnothing.

Passo 4

Analisemos as duas possibilidades para m:
Seja m = X. Então, usando X=\{Y\}, temos
X\cap S = \{Y\}\cap\{X,Y\} = \{Y\}\neq\varnothing,
o que contradiz m\cap S=\varnothing.
Seja m = Y. Então, usando Y=\{X\}, temos
Y\cap S = \{X\}\cap\{X,Y\} = \{X\}\neq\varnothing,
novamente contradizendo m\cap S=\varnothing.

Passo 5

Como ambas as escolhas para m conduzem a contradições com o Axioma da Regularidade, nossa suposição inicial não pode ser verdadeira.

Resposta

Não existem conjuntos X e Y tais que X=\{Y\} e Y=\{X\}.

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