Sejam
e
conjuntos. Usando o axioma da regularidade, mostre que não podemos ter
e
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem conjuntos
e
tais que
Vamos usar o Axioma da Regularidade, que afirma: para todo conjunto não vazio
existe um elemento
tal que
Passo 2
Façamos uma prova por redução ao absurdo. Suponha que existam
e
satisfazendo
Defina então o conjunto
Claro que
é não vazio.
Passo 3
Pelo Axioma da Regularidade aplicado a
, existe algum
tal que
Passo 4
Analisemos as duas possibilidades para
:
Seja
. Então, usando
, temos
o que contradiz
.
Seja
. Então, usando
, temos
novamente contradizendo
.
Passo 5
Como ambas as escolhas para
conduzem a contradições com o Axioma da Regularidade, nossa suposição inicial não pode ser verdadeira.
Resposta
Não existem conjuntos
e
tais que
e
.