Sejam x, y \in \mathbb{R}. Responda às seguintes perguntas, justificando sua resposta (observação: estamos trabalhando com Matemática.):
E se essa pessoa diz que x>0 e y<0, então:
i. x ou y pode ser nulo?
ii. x e y podem ser nulos?
iii. x ou y podem ser positivos?
iv. x pode ser negativo ou nulo ou y pode ser positivo?

Passo 1

O enunciado dá as condições \,x>0 e y<0.\nAs perguntas são:
i. \,x ou y pode ser nulo?\nii. \,x e y podem ser nulos?\niii. \,x ou y podem ser positivos?\niv. \,x pode ser negativo ou nulo ou y pode ser positivo?

Passo 2

Vamos revisar definições básicas (rapidinho e sem mistério):
  • Dizer que uma variável é positiva significa que ela satisfaz \,>\,0. Ex.: x>0 significa “ x é positivo”.
  • Dizer que é negativa significa que satisfaz \,<\,0. Ex.: y<0 significa “ y é negativo”.
  • Dizer que é nula significa que é igual a zero: =0.
    Importante: desigualdades estritas \,>\,0 ou \,<\,0 excluem o caso =0. Ou seja, se x>0 então necessariamente x\neq0; se y<0 então y\neq0.

Passo 3

Consequências imediatas das hipóteses:
  • De x>0 segue que x é positivo e que x\neq0. Logo x não pode ser nulo nem negativo.
  • De y<0 segue que y é negativo e que y\neq0. Logo y não pode ser nulo nem positivo.
    Também lembro que, em matemática, “ou” normalmente significa “ou inclusive” (disjunção inclusiva): “A ou B” é verdadeira se A for verdadeira, ou B for verdadeira, ou ambas forem verdadeiras.

Passo 4

Pergunta i: “ \,x ou y pode ser nulo?” — isto é, pode acontecer que pelo menos um deles seja zero?
  • Como vimos, x>0 impede x=0 e y<0 impede y=0. Portanto nenhum dos dois pode ser nulo.
  • Conclusão: não é possível que x ou y seja nulo.

Passo 5

Pergunta ii: “ \,x e y podem ser nulos?” — isto é, podem os dois ser zero ao mesmo tempo?
  • Já sabemos que nem x nem y podem ser zero isoladamente, logo também não podem ser ambos zero simultaneamente.
  • Conclusão: não.

Passo 6

Pergunta iii: “ \,x ou y podem ser positivos?” — isto é, pode acontecer que pelo menos um deles seja positivo?
  • A hipótese x>0 garante que x é positivo. A hipótese y<0 impede que y seja positivo.
  • Como a disjunção é inclusiva, basta que um deles possa ser positivo para responder “sim”: aqui x já é positivo.
  • Conclusão: sim — x pode (de fato, deve) ser positivo; y não pode.

Passo 7

Pergunta iv: “ \,x pode ser negativo ou nulo ou y pode ser positivo?” — isto é, a disjunção ( x negativo ou x=0 ) ou ( y positivo ) pode ocorrer?
  • x>0 elimina as opções “ x negativo” e “ x nulo”. Então a primeira parte é falsa.
  • y<0 elimina a opção “ y positivo”. Então a segunda parte também é falsa.
  • A disjunção de duas sentenças falsas é falsa.
  • Conclusão: não.

Resposta

i. Não.
ii. Não.
iii. Sim.
iv. Não.

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