Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas independentes, ambas com distribuição uniforme ( 0,1 ). Encontre as funções densidade de probabilidade de
X-Y

Passo 1

Resumindo, temos X e Y independentes com distribuição uniforme em (0,1). Queremos a densidade de Z = X - Y. O conteúdo aqui é convolução de densidades, já que a densidade de uma diferença independe de variáveis se obtém como
f_Z(z) \;=\; \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\,f_Y(x - z)\,dx.

Passo 2

Como X\sim\mathrm{Uniform}(0,1), vale
f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 \le x \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases} \quad f_Y(y) = \begin{cases} 1, & 0 \le y \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}áá
Logo,
f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)\,f_Y(x - z)\,dx = \int_{0}^{1} 1 \;\cdot\; \mathbf{1}_{\{0 \le x - z \le 1\}} \,dx.

Passo 3

A condição 0 \le x - z \le 1 equivale a
z \le x \le z + 1.
Portanto estamos integrando sobre o intervalo
[0,1] \,\cap\, [z,\,z+1].
A integral vale o comprimento desse intervalo.

Passo 4

O comprimento de [0,1]\cap[z,z+1] é
\begin{cases} z + 1, & \text{se } -1 \le z \le 0,\\\\ 1 - z, & \text{se } 0 < z \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á
Logo
f_Z(z) = \begin{cases} z + 1, & -1 \le z \le 0,\\\\ 1 - z, & 0 < z \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Resposta

f_{X-Y}(z) = \begin{cases} z + 1, & -1 \le z \le 0,\\\\ 1 - z, & 0 < z \le 1,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

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