Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas independentes, ambas com distribuição uniforme ( 0,1 ). Encontre as funções densidade de probabilidade de
|X-Y|

Passo 1

O enunciado diz que X e Y são independentes e uniformes em (0,1) e pede a densidade de Z = |X - Y|. Vamos usar a interpretação geométrica no quadrado unitário [0,1]\times[0,1] e depois derivar a função de distribuição acumulada de Z.

Passo 2

Para z\in[0,1], a probabilidade
F_Z(z)=P(|X-Y|\le z)
é a área da região do quadrado onde |x-y|\le z. Essa região é o quadrado inteiro menos dois triângulos retângulos congruentes de cateto 1-z.

Passo 3

A área de cada triângulo é \tfrac12(1-z)^2, logo a área complementar é
F_Z(z) =1 - 2\cdot \frac12(1-z)^2 =1 - (1-z)^2.

Passo 4

A densidade de Z obtém-se derivando F_Z(z):
f_Z(z) =\frac{d}{dz}F_Z(z) =\frac{d}{dz}\bigl[1-(1-z)^2\bigr] =2(1-z),
válido para z\in[0,1].

Passo 5

Fora de [0,1], a variável Z não assume outros valores, logo a densidade é zero fora desse intervalo.

Resposta

f_{|X-Y|}(z)= \begin{cases} 2\,(1-z),&0\le z\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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