Sejam
(a) Faça um gráfico ilustrando o domínio de variação de
.
(b) Calcule o valor da constante
.
(c) Calcule as marginais de
e
, mostrando que realmente definem uma função de densidade.
(d)
e
são independentes? Justifique sua resposta.
(e) Calcule
.
(c) Calcule as marginais de
(d)
(e) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a densidade conjunta de duas v.a. contínuas
Precisamos: (a) esboçar o domínio onde
usando normalização; (c) obter as densidades marginais
e
e verificar que cada uma integra 1; (d) checar se
; (e) calcular
.
Passo 2
(a) O domínio de variação é
Em um gráfico
, traçamos as retas
,
,
,
. O ponto inferior esquerdo é
, o superior esquerdo
, o inferior direito
e o superior direito
. A região internamente é um retângulo.
Passo 3
(b) Para achar
usamos a condição
Calculemos a integral em
:
Logo
Passo 4
(c) A marginal de
é
e
fora desse intervalo. Verificamos
A marginal de
é
e
fora. Verificamos
Passo 5
(d) Para independência, vemos se
Temos
Logo são independentes.
Passo 6
(e) Usamos
. Como
para
,
Resposta
(a) Retângulo no plano
limitado por
.
(b) .
(c) para
, e
para
, ambas integram 1.
(d) Sim, pois .
(e) .
(b)
(c)
(d) Sim, pois
(e)