Sejam X\) e \(Y\) variáveis aleatórias contínuas com a seguinte função de densidade conjunta: \[f(x, y)= \begin{cases}c y^{2}, & \text { se } 0<x<2 \text { e } 0<y<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
(a) Faça um gráfico ilustrando o domínio de variação de X\] e \(Y.
(b) Calcule o valor da constante c.
(c) Calcule as marginais de X e Y, mostrando que realmente definem uma função de densidade.
(d) X e Y são independentes? Justifique sua resposta.
(e) Calcule P(X \leq 1).

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta de duas v.a. contínuas X\) e \(Y\): \[f(x,y)= \begin{cases} c\,y^{2},&0<x<2,\;0<y<1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos: (a) esboçar o domínio onde f>0\]; (b) achar \(c usando normalização; (c) obter as densidades marginais f_X e f_Y e verificar que cada uma integra 1; (d) checar se f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y); (e) calcular P(X\le1)=\int_{-\infty}^{1}f_X(x)\,dx.

Passo 2

(a) O domínio de variação é
D=\{(x,y)\mid 0<x<2,\;0<y<1\}.
Em um gráfico xy, traçamos as retas x=0, x=2, y=0, y=1. O ponto inferior esquerdo é (0,0), o superior esquerdo (0,1), o inferior direito (2,0) e o superior direito (2,1). A região internamente é um retângulo.

Passo 3

(b) Para achar c usamos a condição
\iint_{\mathbb{R}^2}f(x,y)\,dx\,dy =\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{1}c\,y^2\,dy\,dx =1.
Calculemos a integral em y:
\int_{0}^{1}y^2\,dy =\Bigl[\tfrac{y^3}{3}\Bigr]_0^1 =\tfrac{1}{3}.
Logo
\int_{0}^{2}c\cdot\tfrac{1}{3}\,dx =\tfrac{c}{3}\cdot 2 =\tfrac{2c}{3} =1 \quad\Longrightarrow\quad c=\tfrac{3}{2}.

Passo 4

(c) A marginal de X é
f_X(x) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy =\int_{0}^{1}\tfrac{3}{2}\,y^2\,dy =\tfrac{3}{2}\cdot\tfrac{1}{3} =\tfrac{1}{2}, \quad 0<x<2,
e f_X(x)=0 fora desse intervalo. Verificamos
\int_{0}^{2}f_X(x)\,dx =\int_{0}^{2}\tfrac12\,dx =\tfrac12\cdot2 =1.
A marginal de Y é
f_Y(y) =\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx =\int_{0}^{2}\tfrac{3}{2}\,y^2\,dx =\tfrac{3}{2}\,y^2\cdot2 =3\,y^2, \quad 0<y<1,
e f_Y(y)=0 fora. Verificamos
\int_{0}^{1}3\,y^2\,dy =3\cdot\tfrac{1}{3} =1.

Passo 5

(d) Para independência, vemos se
f(x,y)\stackrel{?}{=}f_X(x)\,f_Y(y).
Temos
f_X(x)\,f_Y(y) =\tfrac12\cdot3\,y^2 =\tfrac{3}{2}\,y^2 =f(x,y) \quad\text{para }0<x<2,\;0<y<1.
Logo são independentes.

Passo 6

(e) Usamos P(X\le1)=\int_{0}^{1}f_X(x)\,dx. Como f_X(x)=\tfrac12 para 0<x<2,
P(X\le1) =\int_{0}^{1}\tfrac12\,dx =\tfrac12\cdot1 =\tfrac12.

Resposta

(a) Retângulo no plano (x,y) limitado por x=0,\,x=2,\,y=0,\,y=1.
(b) c=\tfrac{3}{2}.
(c) f_X(x)=\tfrac12 para 0<x<2, e f_Y(y)=3y^2 para 0<y<1, ambas integram 1.
(d) Sim, pois f(x,y)=f_X(x)\,f_Y(y).
(e) P(X\le1)=\tfrac12.

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