Seja (X, Y)\) um vetor aleatório, cuja densidade conjunta é dada por: \[f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-(\mathrm{x}+\mathrm{y})}, & \text { para } x>0 \mathrm{e} y>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Encontre a densidade de (Z=\frac{X}{Y}].

Passo 1

O enunciado dá um vetor aleatório (X,Y)\) com densidade conjunta \[f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)},&x>0,\;y>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede a densidade de (Z = X/Y].
Conteúdo: distribuição do quociente de variáveis contínuas independentes. Vamos usar transformação de variáveis e jacobiano.

Passo 2

Definimos a transformação
Z = \frac{X}{Y}, \quad W = Y.
Então a inversa é
X = Z\,W, \quad Y = W,
com domínio z\ge0, w>0.

Passo 3

O jacobiano da transformação (z,w)\mapsto(x,y) é
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial z & \partial x/\partial w\\\ \partial y/\partial z & \partial y/\partial w \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} w & z\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = w.

Passo 4

A densidade conjunta de (Z,W) é
f_{Z,W}(z,w) = f_{X,Y}(x,z)\Bigl|_{x=zw,\;y=w}\;\bigl|J\bigr| = e^{-(zw + w)}\;w = w\,e^{-w(z+1)},
válida para z\ge0, w>0.

Passo 5

Para obter f_Z(z), integramos em w\in(0,\infty):
f_Z(z) =\int_{0}^{\infty} w\,e^{-w(z+1)}\,dw.
Usamos a integral conhecida \displaystyle\int_{0}^{\infty} w\,e^{-a w}\,dw = \frac{1}{a^2} para a>0. Aqui a = z+1, logo
f_Z(z) = \frac{1}{(z+1)^2}, \quad z\ge0.

Resposta

f_Z(z) = \begin{cases} \dfrac{1}{(1+z)^2},&z\ge0,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á

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