Seja (X, Y)\) um vetor aleatório, cuja densidade conjunta é dada por:
\[f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{-(\mathrm{x}+\mathrm{y})}, & \text { para } x>0 \mathrm{e} y>0 \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Encontre a densidade de (Z=\frac{X}{Y}].
Passo 1
O enunciado dá um vetor aleatório (X,Y)\) com densidade conjunta
\[f_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)},&x>0,\;y>0,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e pede a densidade de (Z = X/Y].
Conteúdo: distribuição do quociente de variáveis contínuas independentes. Vamos usar transformação de variáveis e jacobiano.
Passo 2
Definimos a transformação
Z = \frac{X}{Y}, \quad W = Y.
Então a inversa é
X = Z\,W, \quad Y = W,
com domínio z\ge0, w>0.
Passo 3
O jacobiano da transformação (z,w)\mapsto(x,y) é
J = \det \begin{pmatrix} \partial x/\partial z & \partial x/\partial w\\\ \partial y/\partial z & \partial y/\partial w \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} w & z\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = w.