Sejam X1, ldots, Xn v.a.s independentes. Use função geradora de momentos para obter a distribuição de Sn=X1+cdots+Xn, nos seguintes casos:
Xi sim Poisson(lambdai)
para i=1, ldots, n.

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo o seguinte: a gente tem variáveis aleatórias independentes Sn = X1 + X2 + cdots + Xn , cada uma com distribuição Poisson de parâmetro MX(t) = expl(lambda,(e^t - 1)r) . A missão é usar a função geradora de momentos (MGF) para descobrir de qual distribuição é
MX+Y(t) = MX(t),MY(t)
O conteúdo aqui é: MGF, propriedade de soma de variáveis independentes e MGF da Poisson. Vamos precisar lembrar que a MGF de uma Poisson( ) é
e que, se e são independentes,

Passo 2

Primeiro, definir a MGF de MSn(t) = El[e^tSnr] = El[e^t(X1+cdots+Xn)r] . Por definição,
Como as variáveis são independentes, podemos “quebrar” a esperança de expoentes somados em produto de MGFs:

Passo 3

Usando independência,
MSn(t) = El[e^tX1 cdots e^tXnr] = El[e^tX1r] times cdots times El[e^tXnr] = prodi=1^n MXi(t)

Passo 4

Agora, cada MXi(t) = expl(lambdai (e^t - 1)r) tem MGF
MSn(t) = prodi=1^n expl(lambdai (e^t - 1)r) = expl(sumi=1^n lambdai (e^t - 1)r) = expl((e^t - 1)sumi=1^n lambdair)
Logo,

Passo 5

Esse formato é exatamente a MGF de uma Poisson com parâmetro . Aqui, .

Resposta

segue uma distribuição .

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