Sejam
v.a.s i.i.d. tendo média
e variância
e seja
, onde
. (Se
têm função de distribuição
, dizemos que
é uma amostra aleatória de tamanho
da v.a. aleatória
cuja função de distribuição é
e
é chamada a média amostral).
Mostre que:
e
Mostre que:
Passo 1
Beleza, a questão diz o seguinte: temos uma amostra aleatória
de uma v.a.
com média
e variância
. Definimos a média amostral
O que pedem é mostrar que
Conteúdos que vamos precisar:
- Propriedade de linearidade da esperança:
. - Propriedade da variância de constante:
. - Variância de soma de v.a.s independentes:
.
Passo 2
Calcular
.
Usamos a definição . Aplicando linearidade da esperança:
Usamos a definição
Como cada
tem média
, isso vira
Passo 3
Calcular
.
De novo, . Pela propriedade de escala de variância:
De novo,
Como os
são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Juntando:
Resposta
E[\bar{X}] = \mu
Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}
Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}