Sejam X1, ldots, Xn v.a.s i.i.d. tendo média mu e variância sigma^2 e seja barX=Sn / n, onde Sn=sumi=1^n Xi. (Se X1, ldots, Xn têm função de distribuição F, dizemos que X1, ldots, Xn é uma amostra aleatória de tamanho n da v.a. aleatória X cuja função de distribuição é F e barX é chamada a média amostral).
Mostre que: E[barX]=mu e var(barX)=sigma^2 / n

Passo 1

Beleza, a questão diz o seguinte: temos uma amostra aleatória bar X = Snn, Sn=sumi=1^n Xi de uma v.a. E[bar X]=mu e Var(bar X)=sigma^2n com média e variância . Definimos a média amostral
O que pedem é mostrar que
Conteúdos que vamos precisar:
  • Propriedade de linearidade da esperança: .
  • Propriedade da variância de constante: .
  • Variância de soma de v.a.s independentes: .

Passo 2

Calcular E[bar X] =El[tfrac1nsumi=1^n Xir] =tfrac1nsumi=1^n E[Xi] .
Usamos a definição E[bar X] =tfrac1n,(nmu) =mu . Aplicando linearidade da esperança:
Como cada tem média , isso vira

Passo 3

Calcular Var(bar X) =Varl(tfrac1n Snr) =l(tfrac1nr)^2Var(Sn) =tfrac1n^2,Varl(sumi=1^n Xir) .
De novo, Varl(sumi=1^n Xir) =sumi=1^nVar(Xi) =sumi=1^nsigma^2 =n,sigma^2 . Pela propriedade de escala de variância:
Var(bar X) =tfrac1n^2,(n,sigma^2) =sigma^2n
Como os são independentes, a variância da soma é a soma das variâncias:
Juntando:

Resposta

E[\bar{X}] = \mu
Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n}

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