Sejam
e
(II) duas retas do plano que se interceptam no ponto
. Prove que uma reta do plano que passa por
se, e somente se, sua equação é da forma
(III), com r e s não simultaneamente nulos. Dizemos que a equação (III) é combinação linear de (I) e (II).
Passo 1
O enunciado dá duas retas
que se interceptam em
. Queremos mostrar que uma reta genérica do plano passa por
se, e somente se, sua equação puder ser escrita como
com
e
não simultaneamente nulos. Vamos usar a ideia de combinação linear de vetores-normais
e
e o fato de que, por não serem paralelas, elas geram todo
.
Passo 2
Mostramos primeiro que toda equação da forma (III) define uma reta que passa por
. Como
está em ambas as retas (I) e (II), temos
Multiplicando a primeira por
e a segunda por
e somando, obtemos
ou seja,
Isso mostra que
satisfaz exatamente a equação (III), logo essa reta passa por
.
Passo 3
Agora provamos o sentido recíproco. Seja uma reta
qualquer que passe por
. Escrevamos sua equação na forma
onde
é um vetor normal a
, e como
vale
Como as retas (I) e (II) não são paralelas, os vetores
e
são linearmente independentes em
. Logo existe uma única forma de escrever
com
não ambos nulos. Isso significa
Multiplicando
por
e
por
e somando, igual aos cálculos do Passo 2, obtemos
Portanto a equação de
fica exatamente
ou seja, é da forma (III).
Resposta
Mostramos que qualquer combinação linear de (I) e (II) passa por
e, inversamente, que toda reta por
se escreve assim. Portanto, está provado o enunciado.