Sejam a x+b y=c(I) e A x+B y=C (II) duas retas do plano que se interceptam no ponto P. Prove que uma reta do plano que passa por P se, e somente se, sua equação é da forma (r a+s A) x+(r b+s B) y=r c+s C (III), com r e s não simultaneamente nulos. Dizemos que a equação (III) é combinação linear de (I) e (II).

Passo 1

O enunciado dá duas retas
\text{(I)}\quad a x + b y = c \qquad\text{e}\qquad \text{(II)}\quad A x + B y = C
que se interceptam em P=(x_0,y_0). Queremos mostrar que uma reta genérica do plano passa por P se, e somente se, sua equação puder ser escrita como
\text{(III)}\quad (r\,a + s\,A)\,x + (r\,b + s\,B)\,y \;=\; r\,c + s\,C,
com r e s não simultaneamente nulos. Vamos usar a ideia de combinação linear de vetores-normais (a,b) e (A,B) e o fato de que, por não serem paralelas, elas geram todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Mostramos primeiro que toda equação da forma (III) define uma reta que passa por P. Como P está em ambas as retas (I) e (II), temos
a\,x_0 + b\,y_0 = c \quad\text{e}\quad A\,x_0 + B\,y_0 = C.
Multiplicando a primeira por r e a segunda por s e somando, obtemos
r\,(a\,x_0 + b\,y_0) \;+\; s\,(A\,x_0 + B\,y_0) \;=\; r\,c + s\,C,
ou seja,
(r\,a + s\,A)\,x_0 + (r\,b + s\,B)\,y_0 = r\,c + s\,C.
Isso mostra que P satisfaz exatamente a equação (III), logo essa reta passa por P.

Passo 3

Agora provamos o sentido recíproco. Seja uma reta L qualquer que passe por P. Escrevamos sua equação na forma
p\,x + q\,y = d,
onde (p,q)\neq(0,0) é um vetor normal a L, e como P\in L vale
p\,x_0 + q\,y_0 = d.
Como as retas (I) e (II) não são paralelas, os vetores (a,b) e (A,B) são linearmente independentes em \mathbb{R}^2. Logo existe uma única forma de escrever
(p,q) = r\,(a,b) + s\,(A,B)
com r,s não ambos nulos. Isso significa
p = r\,a + s\,A, \quad q = r\,b + s\,B.
Multiplicando a\,x_0+b\,y_0=c por r e A\,x_0+B\,y_0=C por s e somando, igual aos cálculos do Passo 2, obtemos
r\,c + s\,C = p\,x_0 + q\,y_0 = d.
Portanto a equação de L fica exatamente
(r\,a + s\,A)\,x + (r\,b + s\,B)\,y = r\,c + s\,C,
ou seja, é da forma (III).

Resposta

Mostramos que qualquer combinação linear de (I) e (II) passa por P e, inversamente, que toda reta por P se escreve assim. Portanto, está provado o enunciado.

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