Um semáforo de 15 kg está pendurado no meio de um cabo esticado entre dois postes. O cabo cede, de forma que cada metade forma um ângulo de 10^{\circ} com a horizontal. Considere a aceleração da gravidade g \approx 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. O sistema está em equilíbrio, o que significa que a soma vetorial de todas as forças é zero ( T_{1}+\underline{T}_{2}+\underline{F}_{g}=\underset{\sim}{0} ). Determine a magnitude da força de tensão (em Newtons) em cada metade do cabo. Dica: Decomponha os vetores tensão em suas componentes horizontal e vertical.
Passo 1
O enunciado dá um semáforo de massa m = 15\:\mathrm{kg} pendurado no meio de um cabo que faz dois segmentos simétricos, cada um formando um ângulo \theta = 10^\circ com a horizontal. Como o sistema está em equilíbrio, a soma vetorial das forças \vec T_1, \vec T_2 e o peso \vec F_g é zero. Vamos usar decomposição vetorial das tensões para aplicar as condições de equilíbrio horizontal e vertical.
Passo 2
Desenhando o diagrama de corpo livre do semáforo, temos:
– Duas tensões de mesma magnitude T, aplicadas simetricamente em ângulo \theta acima da horizontal.
– O peso \vec F_g para baixo, de módulo
F_g = m\,g = 15 \times 10 = 150\:\mathrm{N}.
Passo 3
Decompondo cada tensão \vec T em componentes:
– Componente horizontal: T_x = T\cos\theta.
– Componente vertical: T_y = T\sin\theta.
Em equilíbrio horizontal, as componentes T_x das duas tensões se cancelam (uma puxa para a esquerda, a outra para a direita).
Passo 4
Em equilíbrio vertical, a soma das componentes verticais para cima deve igualar o peso:
2\,T\sin\theta = F_g = 150\:\mathrm{N}.
Logo,
T = \frac{150}{2\,\sin 10^\circ} = \frac{75}{\sin 10^\circ}.
Passo 5
Calculando numericamente com \sin 10^\circ \approx 0{,}17365:
T \approx \frac{75}{0{,}17365} \approx 432\:\mathrm{N}.
Resposta
A magnitude da tensão em cada metade do cabo é aproximadamente 432\:\mathrm{N}.