Um canhão dispara uma bala com um vetor de velocidade inicial {\underset{\sim}{v}}_{0}=(150,200) \mathrm{m} / \mathrm{s}. O vetor aceleração devido à gravidade é \underset{\sim}{a}=(0,-9.8) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}. Desprezando a resistência do ar:
a) Determine o vetor velocidade \underset{\sim}{v}(t) e o vetor posição \underset{\sim}{r}(t) da bala após 5 segundos, considerando que ela partiu da origem.
b) Em que instante de tempo a bala atinge sua altura máxima? (Dica: A componente vertical da velocidade é zero no ponto mais alto).

Passo 1

O enunciado trata de um movimento de projétil no plano (MRUV vetorial) com
– vetor velocidade inicial \vec v_{0} = (150,\,200)\,\mathrm{m/s},
– vetor aceleração \vec a = (0,\,-9.8)\,\mathrm{m/s^{2}},
– posição inicial na origem \vec r(0)=(0,0).
Vamos usar as fórmulas
\vec v(t)=\vec v_{0}+\vec a\,t
e
\vec r(t)=\vec r(0)+\vec v_{0}\,t+\tfrac12\,\vec a\,t^{2}.

Passo 2

Aplicando
\vec v(t)= (150,\,200)+(0,\,-9.8)\,t = \bigl(150,\;200-9.8\,t\bigr)\,\mathrm{m/s}.
Para t=5,s:
\vec v(5)=\bigl(150,\;200-9.8\cdot5\bigr) =\bigl(150,\;200-49\bigr) =(150,\;151)\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Aplicando
\vec r(t)= (0,0)+(150,\,200)\,t+\tfrac12\,(0,\,-9.8)\,t^{2} =\bigl(150\,t,\;200\,t-4.9\,t^{2}\bigr)\,\mathrm{m}.
Para t=5,s:
\vec r(5)=\bigl(150\cdot5,\;200\cdot5-4.9\cdot5^{2}\bigr) =\bigl(750,\;1000-4.9\cdot25\bigr) =\bigl(750,\;1000-122.5\bigr) =(750,\;877.5)\,\mathrm{m}.

Passo 4

A altura máxima ocorre quando a componente vertical de \vec v(t) zera, ou seja
200-9.8\,t=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{200}{9.8}\approx20.41\\ \mathrm{s}.

Resposta

a) \displaystyle \vec v(5)=(150,151)\,\mathrm{m/s},\quad \vec r(5)=(750,877.5)\,\mathrm{m}.
b) A bala atinge a altura máxima em t\approx20.41 s.

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