(2.0) Nem sempre é fácil descobrir a primitiva de uma função por isso precisamos de alguns métodos que simplifiquem este problema. É possível determinar a integral de uma função aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Esse processo é conhecido como método da substituição de variável. Calcule a integral abaixo pelo método da substituição de variável:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}+2\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cos\!\left(x^{4}+2\right)\,dx
usando o método da substituição de variável. Informação dada: a função a ser integrada é x^{3}\cos\!\left(x^{4}+2\right) e o diferencial é dx. A pergunta é: qual é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcule a integral indefinida usando substituição.

Passo 2

Ideia da substituição (por que escolher uma certa substituição?). Observa-se dentro do cosseno a expressão x^{4}+2. Quando há uma função composta \cos(g(x)) multiplicada por algo que se parece com g'(x), a substituição u=g(x) costuma simplificar muito a integral. Aqui g(x)=x^{4}+2. Vamos calcular g'(x) para ver se isso corresponde ao restante do integrando:
\text{Se } u = x^{4}+2,\quad \text{então } \frac{du}{dx}=4x^{3}.ã
Como aparece x^{3} multiplicando o cosseno, isso é promissor: 4x^{3} é múltiplo de x^{3}. Portanto escolhemos
u = x^{4}+2.

Passo 3

Expressar dx (ou x^{3}dx) em termos de du. A partir de \dfrac{du}{dx}=4x^{3} segue que
du = 4x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx obtemos
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Agora substituímos u e x^{3}dx na integral original.

Passo 4

Fazer a substituição e integrar em u. Substituindo:
\int x^{3}\cos\!\left(x^{4}+2\right)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
Agora usamos a fórmula básica de antiderivada: a primitiva de \cos(u) é \sin(u), pois \dfrac{d}{du}\sin(u)=\cos(u). Assim
\frac{1}{4}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{4}\sin(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=x^{4}+2:
\frac{1}{4}\sin(u)+C = \frac{1}{4}\sin\!\left(x^{4}+2\right)+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida,
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\sin\!\left(x^{4}+2\right)\right] = \frac{1}{4}\cos\!\left(x^{4}+2\right)\cdot 4x^{3} = x^{3}\cos\!\left(x^{4}+2\right),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\sin\!\left(x^{4}+2\right)+C

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