(2.0) Nem sempre é fácil descobrir a primitiva de uma função por isso precisamos de alguns métodos que simplifiquem este problema. É possível determinar a integral de uma função aplicando uma das fórmulas básicas depois de ser feita uma mudança de variável. Esse processo é conhecido como método da substituição de variável. Calcule a integral abaixo pelo método da substituição de variável:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando o método da substituição de variável. Informação dada: a função a ser integrada é
e o diferencial é
. A pergunta é: qual é uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, calcule a integral indefinida usando substituição.
Passo 2
Ideia da substituição (por que escolher uma certa substituição?). Observa-se dentro do cosseno a expressão
. Quando há uma função composta
multiplicada por algo que se parece com
, a substituição
costuma simplificar muito a integral. Aqui
. Vamos calcular
para ver se isso corresponde ao restante do integrando:
Como aparece
multiplicando o cosseno, isso é promissor:
é múltiplo de
. Portanto escolhemos
Passo 3
Expressar
(ou
) em termos de
. A partir de
segue que
Isolando
obtemos
Agora substituímos
e
na integral original.
Passo 4
Fazer a substituição e integrar em
. Substituindo:
Agora usamos a fórmula básica de antiderivada: a primitiva de
é
, pois
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta obtida,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.