Verifique se a função f é contínua no ponto especificado. f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 2 & \text { se } x=1\end{array}\right. no ponto x=1
A pergunta é: verificar se f é contínua no ponto x=1.
Informações relevantes dadas:
A expressão de f para x\neq 1 é \dfrac{x^{2}-1}{(x-1)^{2}}.
O valor de f em x=1 é f(1)=2.
Para decidir continuidade em x=1 preciso analisar o limite \lim_{x\to 1} f(x) e comparar com f(1).]
Passo 2
Relembrando a definição usada para avaliar continuidade num ponto (mini-aulinha calma):
Dizemos que f é contínua em x=1 se, e somente se,
\lim_{x\to 1} f(x) existe (como número finito),
f(1) está definido (aqui está: f(1)=2),
\lim_{x\to 1} f(x)=f(1).
Quando dizemos que o limite existe, queremos que os limites laterais \lim_{x\to 1^-} f(x) e \lim_{x\to 1^+} f(x) existam e sejam iguais (e finitos). Se os limites laterais forem diferentes ou algum for infinito, o limite total não existe.
Passo 3
Simplificar a expressão para x\neq 1 é útil. Fatore o numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Assim, para x\neq 1 podemos cancelar um fator (x-1) no numerador e denominador (o cancelamento é válido só porque estamos assumindo x\neq 1):
Portanto, ao estudar limites em torno de 1 podemos trabalhar com a forma \dfrac{x+1}{x-1}.
Passo 4
Calcular os limites laterais da forma simplificada \dfrac{x+1}{x-1}.
Observação: quando x\to 1, o numerador x+1\to 2 (um número positivo e finito). O comportamento do quociente é determinado pelo denominador x-1, que tende a 0 com sinal dependendo do lado:
Se x\to 1^+ então x-1\to 0^+ (positivo e pequeno). Assim\frac{x+1}{x-1}\to \frac{2}{0^+}=+\infty,ou seja, \lim_{x\to 1^+} f(x)=+\infty.
Se x\to 1^- então x-1\to 0^- (negativo e pequeno). Assim\frac{x+1}{x-1}\to \frac{2}{0^-}=-\infty,ou seja, \lim_{x\to 1^-} f(x)=-\infty.
Como os limites laterais não são iguais (um vai para +\infty e o outro para -\infty) e, além disso, não são finitos, concluímos que \lim_{x\to 1} f(x) não existe como número real.
Passo 5
Aplicando a definição de continuidade do Passo 2:
f(1) está definido e vale 2.
Mas \lim_{x\to 1} f(x) não existe (os limites laterais divergem para sinais opostos).
Portanto a condição necessária \lim_{x\to 1} f(x)=f(1) falha. Logo f não é contínua em x=1.
Comentário final curto e motivador: é um tipo clássico de descontinuidade em que a expressão para x\neq 1 tem um “pulo” infinito na vizinhança de 1 — muitos alunos se confundem aqui, mas a técnica é sempre fatorar, simplificar (quando possível) e checar os limites laterais com atenção ao sinal.