No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federação têm 3 representantes cada. Deve-se formar uma comissão de modo que todos os estados e o Distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comissão pode ser formada?

Passo 1

O enunciado diz que há 27 “unidades” (os 26 estados mais o Distrito Federal), cada uma com 3 senadores, e precisamos escolher uma comissão de modo que, em cada unidade, sejam escolhidos exatamente 1 ou 2 senadores. O conteúdo é de combinatória básica, usando o princípio fundamental da contagem e coeficientes binomiais.

Passo 2

Para uma dada unidade, há duas possibilidades de tamanho da delegação na comissão:
- escolher exatamente 1 senador, o que pode ser feito de \binom{3}{1}=3 maneiras;
- escolher exatamente 2 senadores, o que pode ser feito de \binom{3}{2}=3 maneiras.

Passo 3

Portanto, para cada unidade, o número total de formas de escolher 1 ou 2 senadores é
\binom{3}{1} + \binom{3}{2} = 3 + 3 = 6.

Passo 4

Como as escolhas em cada uma das 27 unidades são independentes, aplicamos o princípio multiplicativo. Assim, o número total de comissões possíveis é
6^{27}.

Resposta

6^{27}

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