Sendo a c b inteiros não nulos, mostre que \operatorname{mdc}(a, b) divide \operatorname{mmc}(a, b).

Passo 1

O enunciado dá que a e b são inteiros não nulos e pede para mostrar que \operatorname{mdc}(a,b) divide \operatorname{mmc}(a,b).
Informações relevantes fornecidas: a e b são inteiros diferentes de zero; queremos provar que existe um inteiro k tal que
\operatorname{mmc}(a,b)=k\cdot\operatorname{mdc}(a,b).

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significam \operatorname{mdc} e \operatorname{mmc}.
Definições fundamentais:
  • Dizemos que um inteiro d é divisor de n (escrevemos d\mid n) se existe um inteiro t tal que n=d\cdot t.
  • \operatorname{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
  • \operatorname{mmc}(a,b) é o menor inteiro positivo que é múltiplo comum de a e b.
    Observação: por convenção tomamos \operatorname{mdc}(a,b)>0 e \operatorname{mmc}(a,b)>0 mesmo que a ou b sejam negativos.

Passo 3

Vou usar a fatoração em primos (Teorema Fundamental da Aritmética). Esse teorema diz que todo inteiro não nulo pode ser escrito de forma única (até ordem) como produto de potências de números primos. Escrevemos as fatorações de a e b usando os mesmos primos p_1,p_2,\dots,p_r que aparecem em um ou em ambos:
a = \pm \prod_{i=1}^{r} p_i^{\alpha_i},\qquad b = \pm \prod_{i=1}^{r} p_i^{\beta_i},
onde cada \alpha_i e \beta_i é um inteiro não negativo. (Coloquei o sinal \pm para cobrir o caso de a ou b negativos; as potências tratam os fatores primos positivos.)

Passo 4

Com essas exposições, as fórmulas padrão para \operatorname{mdc} e \operatorname{mmc} em termos das exposições são:
\operatorname{mdc}(a,b)=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\min(\alpha_i,\beta_i)},
\operatorname{mmc}(a,b)=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}.
Aqui \min(\alpha_i,\beta_i) é o menor dos expoentes \alpha_i e \beta_i, e \max(\alpha_i,\beta_i) é o maior.

Passo 5

Agora observe um fato simples sobre mínimos e máximos: para todo i vale
\min(\alpha_i,\beta_i)\le \max(\alpha_i,\beta_i).
Isto significa que, para cada primo p_i, a potência de p_i que aparece em \operatorname{mdc}(a,b) tem expoente menor ou igual à potência de p_i que aparece em \operatorname{mmc}(a,b).

Passo 6

Se em dois inteiros escritos como produto de primos os expoentes de cada primo do primeiro são menores ou iguais aos do segundo, então o primeiro divide o segundo. Mais formalmente: se
x=\prod_{i=1}^r p_i^{\gamma_i},\qquad y=\prod_{i=1}^r p_i^{\delta_i},
e para todo i temos \gamma_i\le\delta_i, então existe um inteiro
t=\prod_{i=1}^r p_i^{\delta_i-\gamma_i}
tal que y=x\cdot t. Portanto x\mid y.

Passo 7

Aplicando o raciocínio do passo anterior com x=\operatorname{mdc}(a,b) (expoentes \gamma_i=\min(\alpha_i,\beta_i)) e y=\operatorname{mmc}(a,b) (expoentes \delta_i=\max(\alpha_i,\beta_i)), vemos que para todo i vale \gamma_i\le\delta_i. Logo existe o inteiro
k=\prod_{i=1}^{r} p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)-\min(\alpha_i,\beta_i)}\in\mathbb{Z}
tal que
\operatorname{mmc}(a,b)=k\cdot\operatorname{mdc}(a,b).
Isto mostra exatamente que \operatorname{mdc}(a,b)\mid\operatorname{mmc}(a,b).

Passo 8

Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: tome a=12 e b=18. Fatorando,
12=2^{2}\cdot 3^{1},\qquad 18=2^{1}\cdot 3^{2}.
Então
\operatorname{mdc}(12,18)=2^{\min(2,1)}3^{\min(1,2)}=2^{1}3^{1}=6,
\operatorname{mmc}(12,18)=2^{\max(2,1)}3^{\max(1,2)}=2^{2}3^{2}=36.
De fato 36=6\cdot 6, então 6\mid 36.

Passo 9

Comentário alternativo (opcional): existe também a relação conhecida
\operatorname{mdc}(a,b)\cdot\operatorname{mmc}(a,b)=|a b|.
Dessa igualdade segue que \operatorname{mdc}(a,b) divide |ab|, e como \operatorname{mdc}(a,b) também divide a e b, uma manipulação cuidadosa leva à conclusão de que \operatorname{mdc}(a,b) divide \operatorname{mmc}(a,b). Mas a prova via fatores primos é mais direta e construtiva.

Resposta

\operatorname{mdc}(a,b)\mid\operatorname{mmc}(a,b)

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