Sendo
c
inteiros não nulos, mostre que
divide
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são inteiros não nulos e pede para mostrar que
divide
.
Informações relevantes fornecidas: e
são inteiros diferentes de zero; queremos provar que existe um inteiro
tal que
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significam
e
.
Definições fundamentais:
Definições fundamentais:
- Dizemos que um inteiro
é divisor de (escrevemos ) se existe um inteiro tal que . -
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente e . -
é o menor inteiro positivo que é múltiplo comum de e .
Observação: por convenção tomamose mesmo que ou sejam negativos.
Passo 3
Vou usar a fatoração em primos (Teorema Fundamental da Aritmética). Esse teorema diz que todo inteiro não nulo pode ser escrito de forma única (até ordem) como produto de potências de números primos. Escrevemos as fatorações de
e
usando os mesmos primos
que aparecem em um ou em ambos:
onde cada
e
é um inteiro não negativo. (Coloquei o sinal
para cobrir o caso de
ou
negativos; as potências tratam os fatores primos positivos.)
Passo 4
Com essas exposições, as fórmulas padrão para
e
em termos das exposições são:
Aqui
é o menor dos expoentes
e
, e
é o maior.
Passo 5
Agora observe um fato simples sobre mínimos e máximos: para todo
vale
Isto significa que, para cada primo
, a potência de
que aparece em
tem expoente menor ou igual à potência de
que aparece em
.
Passo 6
Se em dois inteiros escritos como produto de primos os expoentes de cada primo do primeiro são menores ou iguais aos do segundo, então o primeiro divide o segundo. Mais formalmente: se
e para todo
temos
, então existe um inteiro
tal que
. Portanto
.
Passo 7
Aplicando o raciocínio do passo anterior com
(expoentes
) e
(expoentes
), vemos que para todo
vale
. Logo existe o inteiro
tal que
Isto mostra exatamente que
.
Passo 8
Para fixar a ideia, um exemplo numérico rápido: tome
e
. Fatorando,
Então
De fato
, então
.
Passo 9
Comentário alternativo (opcional): existe também a relação conhecida
Dessa igualdade segue que
divide
, e como
também divide
e
, uma manipulação cuidadosa leva à conclusão de que
divide
. Mas a prova via fatores primos é mais direta e construtiva.