Mostrar que D(a, b)=D(d), onde d=m d c(a, b) ( a \neq 0 ou b \neq 0 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que D(a,b)=D(d), onde d=\operatorname{mdc}(a,b) e a\neq0 ou b\neq0.
Informações dadas e o que devemos provar:
  • Temos dois inteiros a e b, nem os dois simultaneamente zero.
  • Definimos d=\operatorname{mdc}(a,b) (o máximo divisor comum, tomado aqui como número não negativo).
  • Devemos provar que o conjunto dos divisores comuns de a e b coincide com o conjunto dos divisores de d. Ou seja, mostrar igualdade de conjuntos entre
D(a,b)=\{\,c\in\mathbb{Z}\mid c\mid a\\ \text{e}\\ c\mid b\,\}
e
D(d)=\{\,c\in\mathbb{Z}\mid c\mid d\,\}.
A estratégia natural é provar duas inclusões: D(a,b)\subseteq D(d) e D(d)\subseteq D(a,b).

Passo 2

Definições e ferramentas básicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Dizemos que um inteiro x divide outro inteiro y (escrevemos x\mid y) se existe k\in\mathbb{Z} tal que y=kx. Ex.: 3\mid 12 pois 12=3\cdot4.
  • Uma propriedade simples de divisibilidade: se c\mid a e c\mid b, então para quaisquer inteiros u,v vale c\mid(ua+vb). Prova rápida: escreva a=ck_1 e b=ck_2; então ua+vb = c(uk_1+vk_2), logo é múltiplo de c.
  • Identidade de Bézout (explicação curta): como d=\operatorname{mdc}(a,b) e a,b não são ambos zero, existe uma identidade do tipo
d = u a + v b
para alguns inteiros u,v. Essa identidade pode ser vista construindo o menor elemento positivo do conjunto \{ua+vb\mid u,v\in\mathbb{Z},\\ ua+vb>0\} (prova clássica). Esse fato será útil para relacionar divisores comuns de a,b com divisores de d.

Passo 3

Provar D(a,b)\subseteq D(d).
Seja c\in D(a,b). Então c\mid a e c\mid b. Pela propriedade que vimos, c divide qualquer combinação linear inteira u a+v b. Como d=\operatorname{mdc}(a,b) satisfaz a identidade de Bézout, existem inteiros u,v tais que
d = u a + v b.
Portanto c\mid d. Isso mostra que c\in D(d). Como c foi um elemento arbitrário de D(a,b), concluímos D(a,b)\subseteq D(d).

Passo 4

Provar D(d)\subseteq D(a,b).
Seja c\in D(d). Então c\mid d. Pelo papel de d=\operatorname{mdc}(a,b), sabemos que d é um divisor comum de a e b; isto é, d\mid a e d\mid b. Agora use a transitividade da divisibilidade: se c\mid d e d\mid a, então c\mid a; se c\mid d e d\mid b, então c\mid b. Logo c divide tanto a quanto b, o que implica c\in D(a,b). Como c foi arbitrário em D(d), segue D(d)\subseteq D(a,b).

Passo 5

Concluir a igualdade dos conjuntos.
Das inclusões dos Passos 3 e 4 temos ambas D(a,b)\subseteq D(d) e D(d)\subseteq D(a,b). Portanto os conjuntos são iguais:
D(a,b)=D(d).
Comentário final (pedagogia e calma): a ideia intuitiva é simples — os divisores comuns de a e b são exatamente os divisores do maior divisor comum d. A ferramenta chave foi perceber que qualquer divisor comum divide qualquer combinação linear de a e b, e que o \operatorname{mdc} pode ser escrito como tal combinação (identidade de Bézout).

Resposta

D(a,b)=D(d)

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