Sendo 
  um espaço vetorial real de dimensão finita e com produto interno, considere as afirmações dos ítens (I), (II) e (III) abaixo:
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se 
  é um operador ortogonal então 
 .
(III) Se uma 
  matriz real 
 , que não é múltipla escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então 
 .
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
(I) O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
(II) Se
(III) Se uma
Qual das opções abaixo é a correta?
(A) Apenas a afirmação do item (I) é verdadeira.
(B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.
© Apenas a afirmação do item (III) é verdadeira.
(D) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (II) são verdadeiras.
(E) Apenas as afirmações dos ítens (I) e (III) são verdadeiras.
(F) Apenas as afirmações dos ítens (II) e (III) são verdadeiras.
(G) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas verdadeiras.
(H) As afirmações dos ítens (I), (II) e (III) são todas falsas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um espaço vetorial real 
  com produto interno e três afirmações sobre matrizes e operadores lineares. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações são verdadeiras. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como matrizes simétricas, operadores ortogonais e propriedades dessas matrizes quando combinadas.
Passo 2
Afirmação I: O produto de duas matrizes simétricas de mesma ordem é sempre uma matriz simétrica.
Vamos lembrar que uma matriz 
  é simétrica se 
  (a matriz é igual à sua transposta). Agora, consideremos duas matrizes simétricas 
  e 
  de mesma ordem. O produto 
  será simétrico se 
 .
Calculando a transposta:
Como 
  e 
  são simétricas:
Então:
Para que 
  seja simétrico, precisamos que 
 , ou seja, que 
  e 
  comutem. No entanto, nem todas as matrizes simétricas comutam. Portanto, o produto de duas matrizes simétricas não é necessariamente simétrico.
Conclusão: A afirmação I é falsa.
Passo 3
Afirmação II: Se 
  é um operador ortogonal então 
 .
Um operador 
  é ortogonal se preserva o produto interno, ou seja, para todos 
 :
Agora, se 
 , então 
 . Aplicando o operador ortogonal:
Isso significa que 
 .
Conclusão: A afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Afirmação III: Se uma 
  matriz real 
 , que não é múltiplo escalar da matriz identidade, é simétrica e ortogonal então 
 .
Primeiro, sabemos que uma matriz 
  é ortogonal se 
 . Além disso, 
  ser simétrica implica 
 . Então, para uma matriz simétrica e ortogonal:
Isso quer dizer que 
 , então 
  é uma matriz de ordem 2, ou seja, 
  ao quadrado é a identidade. Agora, se quisermos calcular 
 :
Mas, como 
 , então:
No entanto, foi dado que 
  não é múltiplo escalar da identidade. Isso cria uma contradição, o que significa que a situação descrita na afirmação III não pode ocorrer a menos que 
 , o que está excluído.
Conclusão: A afirmação III é falsa.
Resposta
A opção correta é (B) Apenas a afirmação do item (II) é verdadeira.