Sendo f(x)=1 / x, calcule f(-1), f(x+h), f(x+h)-f(x) e \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=\dfrac{1}{x} e pede para calcular os seguintes itens:
  • f(-1)
  • f(x+h)
  • f(x+h)-f(x)
  • \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
As informações relevantes: a definição f(x)=\dfrac{1}{x}. Lembre que a função não está definida em pontos onde o denominador é zero; vou explicitar isso quando necessário.

Passo 2

Calcular f(-1). Basta substituir x=-1 na definição f(x)=\dfrac{1}{x}.
f(-1)=\dfrac{1}{-1}=-1.
Explicação didática: para avaliar uma função em um ponto, trocamos a variável pelo valor dado. Aqui \dfrac{1}{-1} é a divisão de 1 por -1, que é -1.

Passo 3

Calcular f(x+h). Isso significa substituir x por x+h na definição de f.
f(x+h)=\dfrac{1}{x+h}.
Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido quando x+h\neq 0 (caso contrário teríamos divisão por zero). Também, implicitamente precisamos que x\neq 0 sempre que mencionarmos f(x).

Passo 4

Calcular f(x+h)-f(x). Escrevemos as duas frações e fazemos a subtração colocando sobre um denominador comum.
Primeiro escrevemos:
f(x+h)-f(x)=\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}.
Para subtrair frações, usamos o denominador comum x(x+h). Colocando cada fração sobre esse denominador:
\dfrac{1}{x+h}=\dfrac{x}{x(x+h)},\qquad \dfrac{1}{x}=\dfrac{x+h}{x(x+h)}.
Agora subtraímos os numeradores:
f(x+h)-f(x)=\dfrac{x}{x(x+h)}-\dfrac{x+h}{x(x+h)}=\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}.
Calcule o numerador:
x-(x+h)=x-x-h=-h.
Logo
f(x+h)-f(x)=\dfrac{-h}{x(x+h)}.
Comentário didático: a técnica foi pôr as frações com o mesmo denominador e subtrair numeradores. Note que a forma final mostra um fator h no numerador, o que será útil para o próximo passo. Esta expressão é válida quando x\neq 0 e x+h\neq 0. Se h=0, a expressão original também é válida e dá zero, pois então f(x+h)-f(x)=0.

Passo 5

Calcular a diferença quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}. Começamos com o resultado do passo anterior e dividimos por h:
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}.
Dividir uma fração por h é o mesmo que multiplicar pelo inverso de h. Portanto
\dfrac{\dfrac{-h}{x(x+h)}}{h}=\dfrac{-h}{x(x+h)}\cdot\dfrac{1}{h}.
Agora podemos cancelar o fator h no numerador com o h do denominador — atenção: essa cancelamento só é legítimo se h\neq 0 (para h=0 a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} não está definida porque dividiríamos por zero).
Cancelando h:
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{-1}{x(x+h)}.
Resumo da condição: essa forma simplificada vale para x\neq 0, x+h\neq 0 e h\neq 0. Se quisermos ver o caso limite quando h\to 0 (não pedido, mas útil para derivada), então \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\to -\dfrac{1}{x^{2}}; porém isso é uma observação extra sobre limites e derivadas.

Passo 6

Cheque numérico rápido para ganhar confiança: escolha x=2 e h=0,5 (todos não nulos e x+h\neq0). Então
f(2)=\dfrac{1}{2}=0,5,\quad f(2{+}0,5)=\dfrac{1}{2{,}5}=0{,}4.
A diferença:
f(2{+}0,5)-f(2)=0{,}4-0{,}5=-0{,}1=\dfrac{-0{,}5}{2\cdot2{,}5},
o que confere com \dfrac{-h}{x(x+h)} pois o lado direito é \dfrac{-0{,}5}{2\cdot2{,}5}=-0{,}1. E a diferença quociente é \dfrac{-0{,}1}{0{,}5}=-0{,}2, que coincide com -\dfrac{1}{2\cdot2{,}5}=-\dfrac{1}{5}= -0{,}2.

Resposta

f(-1)=-1
f(x+h)=\dfrac{1}{x+h}
f(x+h)-f(x)=\dfrac{-h}{x(x+h)}
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{-1}{x(x+h)}

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