Sendo
, calcule
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para calcular os seguintes itens:
As informações relevantes: a definição
. Lembre que a função não está definida em pontos onde o denominador é zero; vou explicitar isso quando necessário.
Passo 2
Calcular
. Basta substituir
na definição
.
Explicação didática: para avaliar uma função em um ponto, trocamos a variável pelo valor dado. Aqui
é a divisão de
por
, que é
.
Passo 3
Calcular
. Isso significa substituir
por
na definição de
.
Observação sobre domínio: essa expressão só faz sentido quando
(caso contrário teríamos divisão por zero). Também, implicitamente precisamos que
sempre que mencionarmos
.
Passo 4
Calcular
. Escrevemos as duas frações e fazemos a subtração colocando sobre um denominador comum.
Primeiro escrevemos:
Para subtrair frações, usamos o denominador comum
. Colocando cada fração sobre esse denominador:
Agora subtraímos os numeradores:
Calcule o numerador:
Logo
Comentário didático: a técnica foi pôr as frações com o mesmo denominador e subtrair numeradores. Note que a forma final mostra um fator
no numerador, o que será útil para o próximo passo. Esta expressão é válida quando
e
. Se
, a expressão original também é válida e dá zero, pois então
.
Passo 5
Calcular a diferença quociente
. Começamos com o resultado do passo anterior e dividimos por
:
Dividir uma fração por
é o mesmo que multiplicar pelo inverso de
. Portanto
Agora podemos cancelar o fator
no numerador com o
do denominador — atenção: essa cancelamento só é legítimo se
(para
a expressão
não está definida porque dividiríamos por zero).
Cancelando
:
Resumo da condição: essa forma simplificada vale para
,
e
. Se quisermos ver o caso limite quando
(não pedido, mas útil para derivada), então
; porém isso é uma observação extra sobre limites e derivadas.
Passo 6
Cheque numérico rápido para ganhar confiança: escolha
e
(todos não nulos e
). Então
A diferença:
o que confere com
pois o lado direito é
. E a diferença quociente é
, que coincide com
.