escreva o dominio e imagom das functios:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis definida por f(x,y)=x^{2}+y^{2} e pede duas coisas: o domínio e a imagem (também chamada de conjunto-valor ou contradomínio efetivo) dessa função. As informações fornecidas são apenas a fórmula f(x,y)=x^{2}+y^{2} e que as variáveis x e y são reais (isto é, procura-se o domínio em termos de números reais).

Passo 2

O que é “domínio” neste contexto? Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real. Em outras palavras, são todos os pontos em que podemos calcular f(x,y) sem problemas (como divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo etc.). Aqui eu explico isso devagar porque você disse que gosta de passo a passo.

Passo 3

Agora vamos analisar a fórmula f(x,y)=x^{2}+y^{2} para ver se há alguma restrição. As operações envolvidas são: elevar ao quadrado (potência de base real com expoente 2) e somar dois números reais. Ambas são operações bem-definidas para quaisquer números reais x e y. Não há divisão, raiz par de expressão que possa ficar negativa, nem logaritmo, nem raiz índice par em denominador — nada que impeça valores reais. Portanto a função está definida para todo par (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
Conclusão sobre domínio: assim, o domínio é todo o plano real. Em notação matemática isso fica \mathbb{R}^{2}. Vou guardar essa conclusão para o final, mas já está justificada.

Passo 4

O que é “imagem” (ou “contradomínio efetivo” / “range”)? É o conjunto de todos os valores reais que a função realmente atinge quando permitimos (x,y) variar pelo domínio. Ou seja, imagem = \{\,z\in\mathbb{R} \mid \exists (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\text{ tal que }z=f(x,y)\,\}.

Passo 5

Vamos encontrar restrições nos valores z=x^{2}+y^{2}. Repare que para qualquer número real t, t^{2}\ge 0. Isso vale para x^{2} e para y^{2}. Somando duas quantidades não-negativas obtemos algo não-negativo. Formalmente:
x^{2}\ge 0,\qquad y^{2}\ge 0\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}\ge 0.
Logo nenhum valor negativo pode aparecer como f(x,y). Além disso, x^{2}+y^{2}=0 ocorre exatamente quando x=0 e y=0 simultaneamente, porque só aí ambos os quadrados são zero.

Passo 6

Vimos que todos os valores de f são \ge 0 e que o valor 0 é atingido em (0,0) porque f(0,0)=0^{2}+0^{2}=0. Agora precisamos mostrar que todo c\ge 0 é realmente atingido por algum ponto (x,y) (ou seja, que não há lacunas entre 0 e infinito). Dado um c\ge 0, basta escolher, por exemplo, x=\sqrt{c} e y=0. Então
f\bigl(\sqrt{c},0\bigr)=\bigl(\sqrt{c}\bigr)^{2}+0^{2}=c.
Para c=0 a escolha (0,0) funciona; para c>0 tanto (\sqrt{c},0) quanto (-\sqrt{c},0) funcionam. Assim todo número real não-negativo é imagem de algum ponto.
Também vale comentar que os valores podem crescer arbitrariamente: tomando x grande e y=0 obtemos f(x,0)=x^{2} que tende a +\infty quando |x|\to\infty. Portanto não existe teto superior; os valores cobrem todo o intervalo a partir de 0 até infinito.
Juntando tudo: não há valores negativos (por causa dos quadrados), 0 é atingido, e todo valor c>0 também é atingido (ex.: (\sqrt{c},0)). Logo a imagem é o intervalo [0,\infty).

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}\n
Imagem: [0,\infty)

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