escreva o dominio e imagom das functios:
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis definida por
e pede duas coisas: o domínio e a imagem (também chamada de conjunto-valor ou contradomínio efetivo) dessa função. As informações fornecidas são apenas a fórmula
e que as variáveis
e
são reais (isto é, procura-se o domínio em termos de números reais).
Passo 2
O que é “domínio” neste contexto? Domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define a função faz sentido e produz um número real. Em outras palavras, são todos os pontos em que podemos calcular
sem problemas (como divisão por zero, raiz de número negativo, log de número não positivo etc.). Aqui eu explico isso devagar porque você disse que gosta de passo a passo.
Passo 3
Agora vamos analisar a fórmula
para ver se há alguma restrição. As operações envolvidas são: elevar ao quadrado (potência de base real com expoente
) e somar dois números reais. Ambas são operações bem-definidas para quaisquer números reais
e
. Não há divisão, raiz par de expressão que possa ficar negativa, nem logaritmo, nem raiz índice par em denominador — nada que impeça valores reais. Portanto a função está definida para todo par
.
Conclusão sobre domínio: assim, o domínio é todo o plano real. Em notação matemática isso fica . Vou guardar essa conclusão para o final, mas já está justificada.
Conclusão sobre domínio: assim, o domínio é todo o plano real. Em notação matemática isso fica
Passo 4
O que é “imagem” (ou “contradomínio efetivo” / “range”)? É o conjunto de todos os valores reais que a função realmente atinge quando permitimos
variar pelo domínio. Ou seja, imagem
.
Passo 5
Vamos encontrar restrições nos valores
. Repare que para qualquer número real
,
. Isso vale para
e para
. Somando duas quantidades não-negativas obtemos algo não-negativo. Formalmente:
Logo nenhum valor negativo pode aparecer como
. Além disso,
ocorre exatamente quando
e
simultaneamente, porque só aí ambos os quadrados são zero.
Passo 6
Vimos que todos os valores de
são
e que o valor
é atingido em
porque
. Agora precisamos mostrar que todo
é realmente atingido por algum ponto
(ou seja, que não há lacunas entre
e infinito). Dado um
, basta escolher, por exemplo,
e
. Então
Para
a escolha
funciona; para
tanto
quanto
funcionam. Assim todo número real não-negativo é imagem de algum ponto.
Também vale comentar que os valores podem crescer arbitrariamente: tomando grande e
obtemos
que tende a
quando
. Portanto não existe teto superior; os valores cobrem todo o intervalo a partir de
até infinito.
Juntando tudo: não há valores negativos (por causa dos quadrados), é atingido, e todo valor
também é atingido (ex.:
). Logo a imagem é o intervalo
.
Também vale comentar que os valores podem crescer arbitrariamente: tomando
Juntando tudo: não há valores negativos (por causa dos quadrados),
Resposta
Domínio:
\n
Imagem:
Imagem: