1. Sendo: A=\left[\begin{array}{cc}2 & -1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ -1 & 3\end{array}\right], determine a matriz X nos seguintes casos:
    a) \mathrm{X}=\left(A B^{-1}\right)^{t}
    b) \mathrm{X}=B^{-1} \cdot A^{-1}
    c) \mathrm{AX}=\mathrm{B}

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] 3 & 4\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[6pt] -1 & 3\end{pmatrix}
e pede X em três situações envolvendo inversas, produto e transposta. Para resolver, vamos usar a fórmula da inversa de matriz 2\times2, operações de multiplicação de matrizes e transposição.]

Passo 2

Calcular B^{-1}. Como \det(B)=1\cdot3-(-1)\cdot2=5, tem-se
B^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para (a) calculamos primeiro A\,B^{-1} e depois transpondo:
A\,B^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -2\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix}5 & -5 \\[3pt]13 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[3pt]13/5 & -2/5\end{pmatrix}.
Transpondo,
X = (A\,B^{-1})^t = \begin{pmatrix} 1 & 13/5 \\[4pt] -1 & -2/5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para (b) precisamos de A^{-1}. Como \det(A)=2\cdot4-(-1)\cdot3=11,
A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\[4pt] -3 & 2 \end{pmatrix}.
Logo
X = B^{-1}A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}3 & -2\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{11}\begin{pmatrix}4 & 1\\[3pt]-3 & 2\end{pmatrix} = \frac{1}{55} \begin{pmatrix}18 & -1 \\[3pt]1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18/55 & -1/55 \\[4pt] 1/55 & 3/55 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Para (c) resolvemos A\,X = B X = A^{-1}B. Já temos A^{-1}, então
X = \frac{1}{11} \begin{pmatrix}4 & 1\\[3pt]-3 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]-1 & 3\end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix}3 & 11 \\[3pt]-5 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/11 & 1 \\[4pt] -5/11 & 0 \end{pmatrix}.]

Resposta

a) \displaystyle X = \begin{pmatrix}1 & 13/5\\[4pt]-1 & -2/5\end{pmatrix}.
b) \displaystyle X = \begin{pmatrix}18/55 & -1/55\\[4pt]1/55 & 3/55\end{pmatrix}.
c) \displaystyle X = \begin{pmatrix}3/11 & 1\\[4pt]-5/11 & 0\end{pmatrix}.]

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